سیستم پویا

آخرین مطالب

امکانات وب

سیستم پویا

نمودار فاز جذب کننده عجیب لورنتس نمونه ای محبوب از یک سیستم, دینامیکی غیرخطی است. مطالعه چنین سیستم,هایی نظریه آشوب است .

سیستم, پویا مجموعه ای از عناصر است که برای آنها یک رابطه کاربردی بین زمان و موقعیت در فضای فاز هر یک از عناصر سیستم, ارائه شده است.[ منبع مشخص نشده 875 روز ] این انتزاع ریاضی به ما اجازه می دهد تا تحول سیستم, ها را با گذشت زمان مطالعه و توصیف کنیم.

وضعیت یک سیستم, پویا در هر زمان با مجموعه ای از اعداد واقعی (یا بردارها) مطابق با یک نقطه خاص در فضای دولت توصیف می شود . تکامل یک سیستم, پویا با یک عملکرد تعیین کننده مشخص می شود ، یعنی پس از یک بازه زمانی مشخص ، بسته به نوع فعلی ، سیستم, وضعیت خاصی را به خود اختصاص می دهد.

مطالب

مقدمه [ ویرایش | ویرایش کد ]

یک سیستم پویا چنین الگویی ریاضی از یک شی ، فرایند یا پدیده است که در آن از "نوسانات و سایر پدیده های آماری" غفلت می شود. [1]

یک سیستم پویا همچنین می تواند به عنوان یک سیستم با یک حالت نمایان شود . با این رویکرد ، یک سیستم پویا (به طور کلی) پویایی یک فرآیند خاص را توصیف می کند ، یعنی: روند انتقال یک سیستم از یک حالت به حالت دیگر. فضای فاز یک سیستم کلیت کلیه حالات قابل قبول یک سیستم پویا است. بنابراین ، یک سیستم پویا با وضعیت اولیه و قانونی که توسط آن سیستم از حالت اولیه به حالت دیگری منتقل می شود ، مشخص می شود.

سیستم با تشخیص گسسته زمان و سیستم با مستمر است.

در سیستم هایی با زمان گسسته ، که به طور سنتی آبشار خوانده می شوند ، رفتار سیستم (یا به طور معادل آن ، مسیر سیستم در فضای فاز) با دنباله ای از حالات توصیف می شود. در سیستم هایی با زمان مداوم ، که به طور سنتی جریان نامیده می شوند ، وضعیت سیستم برای هر لحظه از زمان در محور واقعی یا پیچیده تعریف می شود. آبشارها و جریانها موضوع اصلی مورد توجه در پویایی نمادین و توپولوژیکی است .

یک سیستم پویا (هر دو با زمان گسسته و مداوم) اغلب توسط یک سیستم خودمختار از معادلات دیفرانسیل تعریف شده در یک منطقه خاص و ارضای شرایط وجود و قضیه منحصر به فرد برای یک راه حل یک معادله دیفرانسیل در آنجا توصیف می شود. نقاط تعادل سیستم دینامیکی با نقاطی معادل معادله دیفرانسیل مطابقت دارد و منحنی فاز بسته با راه حلهای دوره ای آن مطابقت دارد.

محتوای اصلی نظریه سیستم های دینامیکی مطالعه منحنی های معادلات دیفرانسیل است . این شامل پارتیشن از مسیر فضای فاز و مطالعه رفتار حد از این مدار در: جستجو و طبقه بندی حالت تعادلی، تخصیص جذب ( جذب ) و دافعه ( repellers ) مجموعه (منیفولدهای). مهمترین مفاهیم نظریه سیستم های دینامیکی ، ثبات حالت های تعادل است (یعنی توانایی سیستم برای ماندن در نزدیکی موقعیت تعادل یا روی منیفولد معین برای تغییرات کوچک در شرایط اولیه) و ناهمواری (یعنی حفظ خصوصیات با تغییرات اندک در مدل ریاضی. سیستم خشن - این چنین است ، ماهیت کیفی حرکات با تغییر کافی در پارامترها تغییر نمی کند. ") [2] [1]

استفاده از بازنمایی های احتمالی- آماری در تئوری ارگودی سیستم های دینامیکی منجر به مفهوم یک سیستم دینامیکی با یک اندازه گیری ثابت می شود .

تئوری مدرن سیستم های دینامیکی نام جمعی برای تحقیق است ، جایی که روش هایی از شاخه های مختلف ریاضیات بطور گسترده استفاده می شود و به طور مؤثر ترکیب می شود: توپولوژی و جبر ، هندسه جبری و نظریه اندازه گیری ، نظریه اشکال دیفرانسیل ، تئوری تکین ها و فاجعه ها.

روش های نظریه سیستم های دینامیکی در سایر زمینه های علوم طبیعی مانند ترمودینامیک بدون تعادل ، نظریه آشوب پویا و هم افزایی مورد تقاضا است .

تعریف [ ویرایش | ویرایش کد ]

بگذار { نمایشگر X} $ایکس$ یک منیفولد صاف دلخواه است .

یک سیستم دینامیکی که بر روی منیفولد صاف تعریف شده است{ نمایشگر X} $ایکس$ نقشه برداری نامیده می شود displaystyle g colone R برابر X to X} $g colour R برابر X X$ به صورت پارامتری نوشته شده است displaystyle g ^ {t} (x) $g ^ {{t}} (x)$ کجا display displaystyle t در R ، x در X $t in R ، x in X$ ، که یک نقشه متفاوت است ، و displaystyle g ^ {0}} $g ^ {0$ - نقشه برداری هویت از فضا { نمایشگر X} $ایکس$ . در مورد سیستم های برگشت پذیر ثابت ، خانواده یک پارامتر{ displaystyle {g ^ {t}: t in R }} ${g ^ {{t}}: t in R$ این به شکل یک گروه از تحولات از یک فضای توپولوژیک { نمایشگر X} $ایکس$ ، که به معنای خاص است R displaystyle t_ {1 ، t_ {2} در R $t_ {1} ، t_ {2} در R$ هویت دارد displaystyle g ^ {t_ {1}} circ g ^ {t_ {2}} = g ^ {t_ {1} + t_ {2}}} $g ^ {{t_ {1}}} circ g ^ {{t_ {2}}} = g ^ {{t_ {1} + t_ {2}}}$ .

از متفاوت بودن نقشه برداری { نمایشگر g} $گرم$ این نتیجه می گیرد که عملکرد displaystyle g ^ {t} (x_ {0})} $g ^ {{t}} (x_ {0})$ یک تابع متفاوت از زمان است ؛ نمودار آن در یک فضای فاز طولانی قرار دارد { نمایشگر R برابر X} $R بار X$ و مسیر خطی (منحنی) سیستم دینامیکی نامیده می شود. طرح آن بر روی فضا{ نمایشگر X} $ایکس$ که به آن فضای فاز گفته می شود ، مسیر فاز (منحنی) سیستم پویا نامیده می شود.

تعریف یک سیستم پویا ثابت معادل تقسیم فضای فاز به مسیرهای فاز است. تعریف یک سیستم پویا در حالت کلی معادل تقسیم فضای فاز توسعه یافته به مسیرهای انتگرال است.

راه هایی برای تعریف سیستم های پویا [ ویرایش | ویرایش کد ]

برای تعریف یک سیستم پویا ، باید فضای فاز آن توصیف شود { نمایشگر X} $ایکس$ ، بسیاری از نقاط در زمان { Displaystyle T $تی$ و برخی از قانون توصیف حرکت از نقاط فضای فاز با زمان. بسیاری از لحظات زمان{ Displaystyle T $تی$ این می تواند یا فاصله ای از خط واقعی باشد (سپس می گویند زمان مداوم است ) یا مجموعه ای از اعداد صحیح یا اعداد طبیعی ( زمان گسسته ). در حالت دوم ، "حرکت" از یک نقطه فاز فضا بیشتر شبیه "پرش" آنی از یک نقطه به نقطه دیگر است: مسیر چنین سیستمی منحنی صاف نیست ، بلکه فقط مجموعه ای از نقاط است و معمولاً مدار نامیده می شود . با این وجود ، علی رغم تفاوت های خارجی ، بین سیستم های زمانی مداوم و گسسته رابطه تنگاتنگی وجود دارد: بسیاری از خواص برای این دسته از سیستم ها مشترک هستند یا به راحتی از یک سیستم دیگر منتقل می شوند.

جریان فاز [ ویرایش | ویرایش کد ]

فضای فاز را بگذارید $ایکس$ نمایانگر یک فضای یا منطقه چند بعدی در آن است و زمان پیوسته است. فرض کنید می دانیم هر نقطه با چه سرعتی حرکت می کند. $x$ فضای فاز به عبارت دیگر ، عملکرد بردار سرعت شناخته شده است. $v (x)$ . سپس مسیر نقطه{ نمایشگر x_ {0} در X $x_ {0} in X$ راه حل معادله دیفرانسیل خودمختار خواهد بود ${ frac {dx} {dt}} = v (x)$ با شرایط اولیه $x (0) = x_ {0$ . سیستم پویا تعریف شده از این روش ، جریان فاز برای یک معادله دیفرانسیل مستقل نامیده می شود.

آبشارها [ ویرایش | ویرایش کد ]

بگذار { نمایشگر X} $ایکس$ یک مجموعه دلخواه است ، و $f colone X to X$ - برخی نقشه برداری از مجموعه { نمایشگر X} $ایکس$ روی خودت ما تکرارهای این نقشه را در نظر می گیریم ، یعنی نتایج اعمال مكرر آن در نقاطی از فضای فاز. آنها یک سیستم پویا با فضای فاز تعریف می کنند{ نمایشگر X} $ایکس$ و بسیاری از لحظه های زمان displaystyle T = mathbb {N} $T = { mathbb N$ . در واقع ، ما فرض می کنیم که یک نکته دلخواه است{ نمایشگر x_ {0} در X $x_ {0} in X$ در زمان { نمایشگر 1 $1$ به نقطه می رود { $x_ {1} = f (x_ {0}) in X$ . سپس در زمان $2$ این نکته به این نکته خواهد رسید $x_ {2} = f (x_ {1}) = f (f (x_ {0}))$ و غیره

اگر نقشه برداری $f$ برگشت پذیر ، تکرار معکوس را نیز می توان تعریف کرد : $x _ {{- 2} f = f ^ {{- 1}} (f ^ {{- 1}} (x_ {0}))$ و غیره. بنابراین ، ما سیستمی را با نمونه های زمانی زیادی به دست می آوریم displaystyle T = mathbb {Z} $T = { mathbb Z$ .

نمونه ها [ ویرایش | ویرایش کد ]

سیستم معادلات دیفرانسیل

${ شروع {موارد} { frac {dx} {dt}} = v \ { frac {dv} {dt}} = - kx end {موارد}$

سیستم پویا را با زمان مداوم تعریف می کند ، که به آن "نوسان ساز هارمونیک" می گویند. فضای فاز آن هواپیما است{ نمایشگر (x ، v) $(x ، v)$ کجا { displaystyle v $v$ - سرعت نقطه { displaystyle x $x$ . نوسان ساز هارمونیک انواع فرایندهای نوسانی را شبیه سازی می کند - به عنوان مثال ، رفتار بار در چشمه. منحنیهای فاز آن بیضیهایی هستند که محور آن صفر است.

بگذار $واریفی$ $f ( varphi) = 2 varphi { pmod {2 pi}$ ، یک سیستم پویا را با زمان گسسته تعریف می کند ، فضای فاز آن یک دایره است.
سیستم های آهسته سرعت روندهایی را توصیف می کنند که همزمان در چندین مقیاس زمانی توسعه می یابند.
سیستم های دینامیکی که معادلات را می توان با اصل کمترین عمل برای یک لاگرانژی مناسب انتخاب کرد ، به عنوان "سیستم های دینامیکی لاگرانژی" شناخته می شوند.

سوالات نظریه سیستم های دینامیکی [ ویرایش | ویرایش کد ]

با داشتن برخی از وظایف یک سیستم پویا ، یافتن و توصیف مسیرهای آن به صورت صریح ، دور از ذهن نیست. بنابراین معمولاً سؤالات ساده تر (اما نه کم اهمیت تر) در مورد رفتار کلی سیستم در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال:

آیا سیستم دارای منحنی فاز بسته است ، یعنی می تواند در طول تکامل به حالت اولیه خود بازگردد؟
چگونه منیفولدها ثابت از سیستم چیده شده اند (مورد خاصی که مسیرهای بسته هستند)؟
چگونه جذب سیستم ، یعنی مجموعه ای در فضای فاز ، که "اکثریت" مسیرها به آن گرایش دارند ، چگونه است؟
چگونه مسیرهای آزاد شده از نقاط نزدیک رفتار می کنند - آیا آنها نزدیک می مانند یا با گذشت زمان مسافت قابل توجهی را طی می کنند؟
چه می توان در مورد رفتار یک سیستم دینامیکی "معمولی" از یک طبقه خاص گفت؟
در مورد رفتار سیستم های دینامیکی "نزدیک" به این چه می توان گفت؟

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 241 تاريخ : شنبه 9 آذر 1398 ساعت: 17:48

سیستم پویا

آخرین مطالب

امکانات وب