آنتروپی فون نویمان

فون نویمان آنتروپی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: آنتروپی فون نویمان

آنتروپی فون نویمان بطور گسترده در قالب های مختلف ( آنتروپی های شرطی ، آنتروپی های نسبی و غیره) در چارچوب نظریه اطلاعات کوانتومی استفاده می شود . [89] اقدامات گرفتاری براساس مقداری که مستقیماً با آنتروپی فون نویمان در ارتباط باشد ، انجام می شود. با توجه به یک مجموعه آماری از سیستم های مکانیکی کوانتومی با ماتریس چگالی، توسط داده شده است بسیاری از همان اقدامات آنتروپی در تئوری اطلاعات کلاسیک نیز می توانند در مورد کوانتوم مانند آنتروپی هولو و آنتروپی کوانتومی شرطی تعمیم بگیرند .

اطلاعات کوانتومی متقابل [ ویرایش ]

نظریه اطلاعات کوانتومی بیشتر مربوط به تفسیر و کاربرد آنتروپی فون نویمان است. آنتروپی فون نویمان سنگ بنای توسعه تئوری اطلاعات کوانتومی است ، در حالی که آنتروپی شانوندر تئوری اطلاعات کلاسیک صدق می کند. این یک ناهنجاری تاریخی در نظر گرفته می شود ، زیرا ممکن است انتظار می رود که آنتروپی شانون قبل از آنتروپی فون نویمان کشف شود ، با توجه به کاربرد گسترده آن در نظریه اطلاعات کوانتومی. با این حال ، وارونه تاریخی رخ داده است. فون نویمان برای اولین بار آنتروپی فون نویمان را کشف کرد و آن را برای سؤالات فیزیک آماری بکار برد. چند دهه بعد ، شانون فرمول اطلاعاتی نظری را برای استفاده در نظریه اطلاعات کلاسیک ایجاد کرد و از فون نویمان پرسید که چه چیزی را صدا کند ، با فون نویمن به او گفت که آنرا آنتروپی شانون بنامد ، زیرا این یک مورد خاص از آنتروپی فون نویمان بود. [90]

ماتریس تراکم [ ویرایش ]

مقاله اصلی: ماتریس تراکم

رسمیت گرایی اپراتورها و ماتریس های چگالی توسط فون نویمان [91] در سال 1927 و به طور مستقل معرفی شد ، اما کمتر سیستماتیک توسط لو لانداو [92] و فلیکس بلوچ [93] در سال 1927 و 1946 به ترتیب. ماتریس چگالی روشی جایگزین برای نشان دادن وضعیت یک سیستم کوانتومی است که در غیر این صورت می تواند با استفاده از عملکرد موج نمایش داده شود. ماتریس تراکم امکان حل برخی از مشکلات وابسته به زمان را در مکانیک کوانتومی فراهم می کند.

طرح اندازه گیری فون نویمان [ ویرایش ]

طرح اندازه گیری فون نویمان ، جد کوانتومی واهمدوسی نظریه، نشان دهنده اندازه گیری projectively با در نظر گرفتن دستگاه اندازه گیری است که همچنین به عنوان یک شی کوانتومی درمان می شود. طرح اندازه گیری پیش بینی شده توسط فون نویمان ، منجر به توسعه نظریه های انعطاف پذیری کوانتومی شد. [ نیاز به استناد ]

منطق کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: منطق کوانتومی

فون نویمان برای اولین بار منطق کوانتومی را در مبانی ریاضیات خود در سال 1932 مبانی ریاضی مکانیک کوانتومی مطرح کرد ، جایی که وی خاطرنشان کرد: پیش بینی ها در فضای هیلبرت را می توان به عنوان گزاره هایی در مورد مشاهدات فیزیکی مشاهده کرد. زمینه منطق کوانتومی متعاقباً افتتاح شد ، در مقاله مشهور سال 1936 توسط فون نویمان و گرتت بیرخوف ، اولین اثری که تاکنون به معرفی منطق کوانتومی پرداخته است ، [94] که در آن فون نویمان و بیرخوف نخستین بار ثابت کردند که مکانیک کوانتومی نیاز به یک حساب گزاره دارد.با منطق كلاسيك تفاوت چشمگيري دارد و يك ساختار جبري جديد را براي منطق كوانتومي جداسازي مي كند. مفهوم ایجاد یک محاسبه گزاره برای منطق کوانتومی نخستین بار در یک بخش کوتاه از اثر 1932 فون نویمان بیان شد ، اما در سال 1936 ، نیاز به حساب پیشنهادی جدید از طریق چندین اثبات نشان داده شد. به عنوان مثال ، فوتونها نمی توانند از دو فیلتر پی در پی که به طور عمودی قطبی هستند عبور کنند ( مثلاً یکی به صورت افقی و دیگری به صورت عمودی) و بنابراین ، fortiori ، اگر فیلتر سوم قطبی به صورت مورب به دو قطب دیگر اضافه شود ، قبل یا یا دیگر نمی تواند عبور کند. بعد از آنها پشت سر هم ، اما اگر فیلتر سوم در بین آنها اضافه شوددو مورد دیگر ، در واقع ، فوتون ها عبور خواهند کرد. این واقعیت تجربی به عنوان غیرقابل انعطاف پذیری پیوستگی در منطق قابل ترجمه است. همچنین نشان داده شد که قوانین توزیع منطق کلاسیک ، و، برای تئوری کوانتوم معتبر نیستند. [95]

دلیل این امر این است که یک جابجایی کوانتومی برخلاف مورد اختلال کلاسیک ، حتی اگر هر دو نادرست نادرست باشند می تواند صادق باشد و این به نوبه خود به این واقعیت مربوط می شود که غالباً در مکانیک کوانتومی وجود دارد. این که یک جفت گزینه جایگزین از نظر معنایی تعیین می کنند ، در حالی که هر یک از اعضای آن لزوماً مشخص نیستند. این ویژگی دوم را می توان با یک مثال ساده نشان داد. فرض کنید ما با ذرات (مانند الکترون) چرخش نیمه انتگرال (چرخش زاویه ای چرخش) سروکار داریم که فقط دو مقدار ممکن وجود دارد: مثبت یا منفی. سپس ، یک اصل از تعیین مشخص می کند که چرخش ، نسبت به دو جهت مختلف (به عنوان مثال x و y ) منجر به یک جفت مقادیر ناسازگار می شود. فرض کنید که دولتɸ یک الکترون خاص گزاره را تأیید می کند "چرخش الکترون در جهت x مثبت است." در اصل عدم قطعیت، ارزش چرخش در جهت Y خواهد بود به طور کامل برای نامعین ɸ . از این رو ، ɸ می تواند نه گزاره "چرخش در جهت y مثبت باشد" را تأیید کند و نه گزاره "چرخش در جهت y منفی است". با این وجود، گسست از گزاره "چرخش در جهت Y مثبت است یا چرخش در جهت Y منفی است" باید درست برای شود ɸ. در مورد توزیع ، بنابراین می توان وضعیتی را داشت که در آن وجود داشته باشد، در حالی که . [95]

همانطور که هیلاری پاتنم می نویسد ، فون نویمان جایگزین منطق کلاسیک با یک منطق ساخته شده در شبکه های ارتودودولار (ایزومورفیک به شبکه های فرعی فضای هیلبرت یک سیستم فیزیکی معین) است. [96]

تئوری بازی [ ویرایش ]

فون نویمان زمینه نظریه بازی را به عنوان یک رشته ریاضی پایه گذاری کرد. [97] فون نویمان اثبات خود مینیماکس قضیه در سال 1928. این ایجاد قضیه که در بازی با حاصل جمع صفر با اطلاعات کامل ، وجود دارد یک جفت وجود دارد (یعنی که در آن بازیکن در هر زمان همه حرکت می کند که به جای تا کنون صورت گرفته است می دانم) استراتژی برای هر دو بازیکن که به هرکدام اجازه می دهد حداکثر ضررهای خود را به حداقل برسانند ، از این رو نام minimax را نشان می دهد. هنگام بررسی هر استراتژی ممکن ، یک بازیکن باید تمام پاسخ های احتمالی طرف مقابل خود را در نظر بگیرد. بازیکن سپس استراتژی را اجرا می کند که منجر به به حداقل رساندن حداکثر باخت خود خواهد شد. [98]

چنین استراتژی هایی که حداکثر باخت را برای هر بازیکن به حداقل می رساند ، بهینه شناخته می شوند. فون نویمان نشان داد که حداقل های حداکثر آنها برابر (در ارزش مطلق) و خلاف (به علامت) هستند. فون نویمان بهبود و گسترش کمینه قضیه شامل بازی های مربوط به اطلاعات ناقص و بازی های با بیش از دو بازیکن، انتشار این نتیجه در سال 1944 او تئوری بازی ها و رفتار اقتصادی (نوشته شده با اسکار مورگنسترن) مورگنسترن مقاله ای در مورد تئوری بازی نوشت و فکر کرد که وی را به دلیل علاقه به موضوع به فون نویمان نشان می دهد. او آن را خواند و به مورگنسترن گفت كه باید بیشتر در آن قرار گیرد. این کار چند بار تکرار شد و سپس فون نویمان همکار شد و کاغذ به 100 صفحه رسید. بعد کتاب شد. علاقه عمومی به این کار به حدی بود که روزنامه نیویورک تایمز داستانی را در صفحه اول خود قرار داد. [ نیاز به استناد ] در این کتاب ، فون نویمان اظهار داشت که تئوری اقتصادی نیاز به استفاده از روشهای تحلیلی کاربردی ، به ویژه مجموعه های محدب و قضیه نقطه ثابت توپولوژیکی دارد ، نه حساب دیفرانسیل سنتی ، زیرا حداکثرعملگر عملکردهای متمایز را حفظ نکرد. [97]

مستقل ، کار تحلیلی کاربردی لئونید Kantorovich در اقتصاد ریاضی نیز توجه در تئوری بهینه سازی ، عدم تمایز ، و مشبک بردار متمرکز شده است . از تکنیک های کاربردی-تحلیلی فون نویمان — استفاده از جفت های دوتایی از فضاهای بردار واقعی برای نشان دادن قیمت ها و کمیت ها ، استفاده از هایپلان های پشتیبانی و جداکننده و مجموعه های محدب و نظریه نقطه ثابت - از ابتدای فعالیت ابزارهای اصلی اقتصاد ریاضی بوده اند. [99]

اقتصاد ریاضی [ ویرایش ]

فون نویمان در چندین نشریه تأثیرگذار ، سطح فکری و ریاضی اقتصاد را مطرح کرد. فون نویمان برای الگوی خود از یک اقتصاد در حال توسعه ، وجود و یکتایی بودن تعادل را با استفاده از تعمیم او از قضیه ثابت نقطه بروو ، اثبات کرد . [97] مدل فون نویمان از یک اقتصاد در حال توسعه ، مداد ماتریس  A  - λ B را با ماتریس های غیر منفی  A و B در نظر گرفت . فون نویمان به دنبال بردارهای احتمال p و  q و یک عدد مثبت  λ بود که معادله مکمل را حل می کند  

همراه با دو سیستم نابرابری که بیانگر کارآیی اقتصادی هستند. در این مدل ، بردار احتمالی ( انتقال یافته ) p نشانگر قیمت کالاها است در حالی که بردار احتمال q بیانگر "شدت" فرایند تولید در آن است. راه حل منحصر به فرد λ بیانگر فاکتور رشد است که 1 به علاوه نرخ رشد اقتصاد است. نرخ رشد برابر است با نرخ بهره . [100] [101]

نتایج فون نویمان به عنوان مورد ویژه برنامه نویسی خطی مورد توجه قرار گرفته است ، که در آن مدل فون نویمان فقط از ماتریس های غیر منفی استفاده می کند. مطالعه مدل فون نویمان از یک اقتصاد در حال توسعه ، همچنان مورد توجه اقتصاددانان ریاضی با علاقه به اقتصاد محاسباتی است. [102] [103] [104] در این مقاله بزرگترین مقاله در اقتصاد ریاضی توسط نویسندگان، که معرفی آن از قضایای نقطه ثابت، به رسمیت شناخته شده است به نام نابرابری های خطی ، شلی مکمل و دوگانگی saddlepoint. پل ساموئلسون در جریان کنفرانسی در مورد الگوی رشد فون نویمان گفت که بسیاری از ریاضیدانان روشهای مفیدی را برای اقتصاددانان ایجاد کرده اند ، اما فون نویمان در ارائه کمکهای چشمگیری به خود تئوری اقتصادی بی نظیر است. [105]

مقاله مشهور 9 صفحه ای فون نویمان زندگی را به عنوان گفتگو در پرینستون آغاز کرد و سپس به یک مقاله به آلمانی تبدیل شد که سرانجام به انگلیسی ترجمه شد. علاقه وی به علم اقتصاد که منجر به آن مقاله شد ، چنین آغاز شد: وقتی در سالهای 1928 و 1929 در برلین سخنرانی کرد ، تابستان خود را در خانه خود در بوداپست گذراند ، و اقتصاددان نیکلاس کالدور نیز همین کار را کرد و آنها به آن ضربه زدند. کالدور توصیه کرد که فون نویمان کتابی از اقتصاددان ریاضی لئون والراس بخواند . فون نویمان اشتباهاتی را در آن کتاب پیدا کرد و آنها را اصلاح کرد ، به عنوان مثال ، جایگزین معادلات با نابرابری ها. او متوجه شد که، والراس نظریه تعادل عمومی و والراس قانونکه منجر به سیستم معادلات خطی همزمان شد ، می تواند نتیجه پوچ را بدست آورد که با تولید و فروش مقدار منفی یک محصول می توان سود را به حداکثر رساند. او معادلات را با نابرابری ها جایگزین کرد ، تعادل پویا را از جمله موارد دیگر معرفی کرد و درنهایت مقاله را تولید کرد. [106]

برنامه نویسی خطی [ ویرایش ]

فون نویمان با تکیه بر نتایج خود در مورد بازی های ماتریسی و الگوی خود از اقتصاد در حال توسعه ، تئوری دوگانگی را در برنامه نویسی خطی اختراع کرد وقتی جورج دانتزیگ کار خود را در چند دقیقه توصیف کرد و یک فون نویمان بی تاب از او خواست که به این نکته برسد. سپس ، دانتزیگ با صدای گنگ صحبت کرد در حالی که فون نویمان سخنرانی ساعتی را در مورد مجموعه های محدب ، تئوری نقطه ثابت و دوگانگی ارائه می داد ، و حدس می زد که هم ارزی بین بازی های ماتریس و برنامه نویسی خطی است. [107]

بعداً ، فون نویمان با استفاده از سیستم خطی همگن پل گوردان (1873) روش جدیدی از برنامه نویسی خطی را پیشنهاد کرد که بعداً توسط الگوریتم کارکارکار رایج شد . روش فون نویمان از الگوریتم محوری بین ساده ها استفاده کرد ، با این تصمیم محوری که توسط یک زیرمجموعه حداقل مربعات غیر منفی با محدودیت محدب تعیین می شود ( طرح بردار صفر بر روی محور محدب سیمپلکس فعال ). الگوریتم فون نویمان اولین روش نقطه داخلی برنامه نویسی خطی بود. [107]

آمار ریاضی [ ویرایش ]

فون نویمان در آمار ریاضی کمکهای اساسی انجام داد . وی در سال 1941 توزیع دقیق نسبت میانگین مربعات اختلاف پی در پی به واریانس نمونه برای متغیرهای مستقل و یکسان توزیع عادی را بدست آورد . [108] این نسبت به باقیمانده از مدلهای رگرسیون اعمال شده است و معمولاً به عنوان آماری دوربین- واتسون [109] برای آزمایش این فرضیه تهی شناخته می شود که خطاها بطور سریال در مقابل گزینه دیگری که از اتورگراسیون مرتبه اول ثابت است ، شناخته می شوند . [109]

پس از آن ، دنیس سارگان و آلوک بهارگاوا نتایج آزمایش را در صورت افزایش خطاهای مدل رگرسیون ، از یک مسیر تصادفی گاوسی (به عنوان مثال ، داشتن یک ریشه واحد ) در برابر گزینه جایگزین که آنها یک اتورگراسیون مرتبه اول ثابت هستند ، افزایش دادند. [110]

دینامیک سیالات [ ویرایش ]

فون نویمان در زمینه دینامیک سیالات کمکهای اساسی انجام داد .

مشارکتهای فون نویمان در دینامیک سیال شامل کشف وی از محلول کلاسیک جریان برای امواج انفجاری ، [111] و کشف مشترک (بطور مستقل از یاکوف بوریسوویچ زلدوویچ و ورنر دورینگ ) از مدل منفجره ZND مواد منفجره بود. [112] در دهه 1930 ، فون نویمان به عنوان مسئول در ریاضیات اتهامات شکل یافته تبدیل شد . [113]

بعداً با رابرت دی رشتمیر ، فون نویمان الگوریتمی را تعریف کرد که ویسکوزیته مصنوعی را تعریف می کند و درک امواج شوک را بهبود می بخشد . وقتی کامپیوترها مشکلات هیدرودینامیکی یا آیرودینامیکی را حل کردند ، آنها سعی کردند نقاط شبکه محاسباتی زیادی را در مناطقی از ناپیوستگی شدید (امواج شوک) قرار دهند. ریاضیات ویسکوزیته مصنوعی انتقال شوک را بدون آسیب رساندن به فیزیک پایه ، صاف کرد. [114]

فون نویمان به زودی مدل سازی رایانه را در این زمینه به کار برد و نرم افزارهایی را برای تحقیقات بالستیک خود تولید کرد. وی در طول WW2 ، یک روز به دفتر RH Kent ، مدیر آزمایشگاه تحقیقات Ballistic ارتش ایالات متحده رسید ، با یک برنامه رایانه ای که وی برای محاسبه مدل یک بعدی از 100 مولکول برای شبیه سازی یک موج شوک ایجاد کرده بود. فون نویمان سپس سمیناری را در مورد برنامه رایانه خود به حضار ارائه داد که شامل دوست وی تئودور فون کرمان بود . پس از اتمام فون نویمان ، فون کرمان گفت: "خوب ، جانی ، این بسیار جالب است. البته شما می دانید که لاگرانژ همچنین از مدل های دیجیتال برای شبیه سازی مکانیک پیوسته استفاده کرده است ." از چهره فون نویمان مشخص بود که او از لاگرانژ بی خبر بوده استتحلیلی Mécanique . [115]

تسلط بر ریاضیات [ ویرایش ]

استن اوللام که فون نویمان را خوب می شناخت ، تسلط خود را در ریاضیات از این طریق شرح داد: "بیشتر ریاضیدانان یک روش را می دانند. به عنوان مثال ، نوربرت وینر تبدیل های فوریه را تسلط داده بود .برخی از ریاضیدانان به دو روش تسلط داشته اند و ممکن است واقعاً کسی را تحت تأثیر قرار دهند که فقط یکی از آنها را می شناسد. جان فون نویمان به سه روش تسلط یافته بود. " وی در ادامه توضیح داد که این سه روش عبارتند از:

• تسهیلات با دستکاری نمادین اپراتورهای خطی؛
• یک احساس شهودی برای ساختار منطقی هر نظریه ریاضی جدید.
• یک احساس شهودی برای روبنای ترکیبی تئوری های جدید. [116]

ادوارد تلر نوشت: "هیچ کس همه علوم را نمی داند ، حتی فون نویمان هم چنین نکرد. اما در مورد ریاضیات ، او به جزء تئوری شماره و توپولوژی به همه قسمت های آن کمک کرد. یعنی فکر می کنم چیزی بی نظیر است." [117]

از فون نویمان خواسته شد كه مقاله ای را برای افراد غیرمجاز بنویسد كه توصیف ریاضیات است ، بنویسد و تجزیه و تحلیل زیبایی را انجام داد. وی توضیح داد که ریاضیات جهان را بین تجربی و منطقی قدم می زند و استدلال می کند که هندسه در ابتدا تجربی بوده است ، اما اقلیدس یک تئوری منطقی و قیاسی ساخت. با این حال ، او استدلال كرد كه همیشه این خطر وجود دارد كه خیلی از دنیای واقعی دور نمانیم و به یک علم غیرضروری تبدیل شویم. [118] [119] [120]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann