نظریه تنظیم فون نویمان – برنیز – گودل , فون نویمان پارادوکس

ریاضیات [ ویرایش ]

نظریه تنظیم [ ویرایش ]

همچنین ببینید: نظریه تنظیم فون نویمان – برنیز – گودل

تاریخچه رویکردهایی که منجر به نظریه مجموعه NBG شده است

اصل موضوعی ریاضیات، بر اساس مدل اقلیدس 'ثانیه عناصر ، سطح جدیدی از دقت و وسعت در پایان قرن 19 رسیده بود، به خصوص در حساب، به لطف طرح اصل از ریچارد ددکیند و چارلز سندرز پیرس ، و در هندسه با تشکر از بدیهیات هیلبرت . [60] اما در آغاز قرن بیستم ، تلاش برای پایه گذاری ریاضیات بر اساس تئوری مجموعه ساده لوحی به دلیل تناقض راسل (در مجموعه ای از مجموعه هایی که متعلق به خود نیست) دچار عیب شد. [61] مشکل یک اگزیماتیزاسیون کافی از نظریه مجموعهبه طور ضمنی حدود بیست سال بعد توسط ارنست زرملو و ابراهیم فرنکل حل و فصل شد . نظریه مجموعه Zermelo-Fraenkel مجموعه ای از اصول را فراهم می آورد که امکان ساخت مجموعه های بکار رفته در تمرین روزمره ریاضیات را فراهم می آورد ، اما آنها صریحاً احتمال وجود یک مجموعه را که متعلق به خودش باشد ، مستثنی نکردند. فون نویمان در پایان نامه دکتری خود در سال 1925 ، دو تکنیک را برای کنار گذاشتن چنین مجموعه هایی نشان داد - بدیهیات بنیاد و مفهوم کلاس . [60]

بدیهیات بنیاد پیشنهاد می کند که هر مجموعه را می توان از طریق پایین به بالا و در مراحل متوالی مرتباً با استفاده از اصول Zermelo and Fraenkel ساخت. اگر یک مجموعه متعلق به گروه دیگر باشد ، ابتدا لزوماً باید قبل از مرحله دوم پشت سر هم بیایند. این امر احتمال مجموعه ای را که متعلق به خودش است ، محروم می کند. فون نویمان برای اثبات اینكه اضافه كردن این اصل جدید به دیگران تضاد ایجاد نمی كند ، روش تظاهرات را به نام روش مدلهای درونی معرفی كرد كه بعداً در تئوری مجموعه به یك ابزار اساسی تبدیل شد. [60]

رویکرد دوم برای مسئله مجموعه هایی که متعلق به خود هستند ، اساس آن مفهوم کلاس را می گرفت و مجموعه ای را به عنوان یک کلاس تعریف می کرد که متعلق به سایر کلاس ها باشد ، در حالی که یک کلاس مناسب به عنوان کلاس تعریف می شود که متعلق به سایر کلاس ها نیست. بر اساس رویکرد زرملو-فرنکل ، بدیهیات مانع ساخت مجموعه ای از کلیه مجموعه ها می شود که متعلق به خودشان نیست. در مقابل ، طبق رویکرد فون نویمان ، کلاس تمام مجموعه هایی که متعلق به خودشان نیست می توانند ساخته شوند ، اما این یک کلاس مناسب است و نه یک مجموعه. [60]

با این مشارکت فون نویمان ، سیستم بدیهی نظریه مجموعه از تناقض سیستمهای قبلی اجتناب کرد و با وجود عدم اثبات قوام آن ، به عنوان پایه ای برای ریاضیات قابل استفاده شد. سؤال بعدی این بود كه آیا پاسخ كلی به سؤالات ریاضیاتی كه در آن ایجاد می شود ، ارائه می دهد یا اینكه آیا با اضافه كردن بدیهیات قوی تر كه می تواند برای اثبات طبقه گسترده ای از قضایا مورد استفاده قرار گیرد ، بهبود می یابد. پاسخ کاملاً منفی در مورد اینکه آیا قطعی در سپتامبر سال 1930 در کنگره تاریخی ریاضی Königsberg وارد شد ، که در آن Kurt Gödel اولین قضیه ناقص بودن خود را اعلام کرد: سیستم های بدیهی معمول ناقص هستند ، به این معنی که آنها نمی توانند هر حقیقتی را که در زبان آنها قابل بیان است اثبات کنند. علاوه بر این ، هر پسوند مداوم از این سیستم ها لزوما ناقص باقی می ماند. [62]

کمتر از یک ماه بعد ، فون نویمان ، که در کنگره شرکت کرده بود ، نتیجه جالبی از قضیه خود به گودل ابلاغ کرد: اینکه سیستم های بدیهی معمول قادر به نشان دادن قوام خود نیستند. [62] با این حال ، گودل پیشتر این پیامد را کشف کرده بود ، که اکنون به عنوان دومین قضیه ناقص بودن وی شناخته می شود ، و او فون نویمان را از پیش نویس مقاله خود ارسال کرد که شامل هر دو قضیه ناقصی است. [63] فون نویمان اولویت گودل را در نامه بعدی خود اذعان کرد. [64] او هرگز به فکر "سیستم آمریکایی ادعای اولویت شخصی برای همه چیز" نبود. [65]

فون نویمان پارادوکس [ ویرایش ]

مقاله اصلی: پارادوکس فون نویمان

ساخت و ساز در کار فلیکس هاسدورف ، در سال 1924 استفان Banach و تارسکی ثابت کرد که یک جامد داده توپ در فضای 3 بعدی، وجود دارد وجود دارد تجزیه توپ را به یک تعداد متناهی از متلاشی شدن زیر مجموعه ، که می تواند با هم در یک متفاوت دوباره بهم وصل روش ارائه دو نسخه یکسان از توپ اصلی. باناچ و تارسکی ثابت کردند که با استفاده از دگرگونی های ایزومتریک ، نتیجه جدا شدن و تجدید شکل مجدد یک شکل دو بعدی لزوماً مساحت اصلی را خواهد داشت. این امر باعث می شود ایجاد دو مربع واحد از یک غیر ممکن باشد. با این حال ، در مقاله 1929 ، [66]فون نویمان ثابت کرد که تجزیه پارادوکسیکال می تواند از گروهی از تحولات استفاده کند که به عنوان یک زیر گروه شامل یک گروه آزاد با دو ژنراتور است. گروه تحولات ناحیه ای حاوی چنین زیر گروه هایی است و این امکان انجام تجزیه های پارادوکسیکال با استفاده از این زیر گروه ها را فراهم می کند. طبقه گروههای جدا شده توسط فون نویمان در کار خود در تجزیه Banach-Tarski متعاقباً برای بسیاری از زمینه های ریاضیات ، از جمله کار بعدی خود فون نویمان در تئوری اندازه گیری بسیار مهم بود (شکل زیر را ببینید).

نظریه ارگدیک [ ویرایش ]

در یک سری از مقالات منتشر شده در سال 1932 ، فون نویمان کمکهای بنیادی در نظریه ارگونجیک ، شاخه ای از ریاضیات که شامل حالات سیستم های دینامیکی با یک اندازه ثابت است . [67] از میان مقالات مربوط به نظریه ارگودیک در سال 1932 ، پل هالمووس می نویسد که حتی "اگر فون نویمان هرگز کار دیگری نکرده بود ، آنها برای تضمین جاودانگی ریاضی کافی بودند". [68] در آن زمان فون نویمان مقالات خود را در مورد تئوری اپراتور نوشته بود ، و كاربرد این اثر در قضیه فون نویمان به معنای ergodic میانگین بود . [68]

تئوری اپراتور [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جبر فون نویمان

همچنین مشاهده کنید: انتگرال مستقیم

فون نویمان از طریق جبرهای فون نویمان ، مطالعه حلقه های اپراتورها را معرفی کرد . جبر فون نویمان یک جبر * از عملگرهای محدود در فضای هیلبرت است که در توپولوژی ضعیف اپراتور بسته شده و حاوی عملگر هویت است . [69] فون نویمان قضیه bicommutant نشان می دهد که تعریف تحلیلی معادل یک تعریف کاملا جبری به عنوان bicommutant بودن برابر است. [70] فون نویمان در سال 1936 ، با همکاری جزئی FJ موری ، به مطالعه کلی عوامل پرداخت.طبقه بندی جبرهای فون نویمان. شش مقاله اصلی که وی در طی سالهای 1936 تا 1940 این تئوری را ایجاد کرده است "در بین شاهکارهای تحلیل در قرن بیستم" قرار گرفته است. [3] جدایی ناپذیر مستقیم بعد از آن در سال 1949 توسط جان فون نویمان معرفی شد. [71]

تئوری اندازه گیری [ ویرایش ]

همچنین ببینید: نظریه بلند کردن

در نظریه اندازه گیری ، "مشکل اندازه گیری" برای یک نفر فضای اقلیدسی بعدی R N ممکن است گفته شود به عنوان: "آیا وجود دارد وجود مثبت، نرمال، ثابت، و عملکرد مجموعه افزودنی در کلاس از تمام زیر مجموعه های R N ؟" [68] کار فلیکس هاسدورف و استفان باناچ حاکی از این بود که مشکل اندازه گیری اگر n = 1 یا n = 2 و یک راه حل منفی (به دلیل پارادوکس Banach-Tarski ) در همه موارد دیگر ، راه حل مثبت دارد . کار فون نویمان استدلال می کند که "مسئله اساساً از لحاظ شخصیتی از لحاظ تئوریک گروهی است":[68] وجود یک اندازه گیری را می توان با نگاه به خواص گروه تحول در فضای معین تعیین کرد. راه حل مثبت برای فضاهای ابعادی حداکثر در دو ، و راه حل منفی برای ابعاد بالاتر ناشی از این واقعیت است که گروه اقلیدسی یک گروه قابل حل برای ابعاد حداکثر در دو است و برای ابعاد بالاتر قابل حل نیست. "بنابراین ، به گفته فون نویمان ، این تغییر گروه است که باعث ایجاد تفاوت می شود ، نه تغییر فضا." [68]

در تعدادی از مقالات فون نویمان ، روش های استدلال او به کار رفته حتی از نتایج مهم تر نیز در نظر گرفته شده است. فون نویمان در انتظار مطالعه بعدی خود در مورد تئوری ابعاد در جبرهای اپراتورها ، از نتایج معادل سازی با استفاده از تجزیه متناهی استفاده کرد و مسئله اندازه گیری را از نظر توابع دوباره تنظیم کرد. [72] وی در مقاله خود در مورد تئوری اندازه گیری تحلیلی در سال 1936 ، از قضیه هار در حل مسئله پنجمین مشکل هیلبرت در مورد گروههای جمع و جور استفاده کرد. [68] [73] در سال 1938 ، او به خاطر فعالیت خود در زمینه تجزیه و تحلیل ، جایزه یادبود باچر را دریافت کرد. [74]

https://en.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann