رویکرد ماتریس به محاسبات کسری گسسته: شبکه های غیرمتمرکز، طول گام متغیر و سفارشات توزیع شده

در این مقاله، ما بیشتر رویکرد ماتریس Podlubny را به تقسیم انتگرال و مشتقات نظم غیر عددی توسعه می دهیم. یکپارچگی عددی و تمایز در شبکه های غیرمتمرکز معرفی شده و با چندین مثال از راه حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات کسری از مرتبه ثابت و با مشتقات توزیع شده نشان داده شده است. در این مقاله برای اولین بار ما یک رویکرد متغیر گام به گام ارائه می دهیم که ما آن را "روش مراحل بزرگ" نامیدیم، زیرا آن را در ترکیب با رویکرد ماتریس برای هر "مرحله بزرگ" اعمال می کنیم. این روش جدید نیز با یک مثال ساده برای دنبال کردن نشان داده شده است. رویکرد ارائه شده امکان تقسیم و ادغام سیگنالهای عیر یکنواحت سیگنال نمونه را به منظور کسرمرتب  و توزیع شده ترتیب می دهد و راه را برای توسعه تکنیک های متغیر و انطباقی-مرحله ای برای معادلات دیفرانسیل کسری و توزیع شده باز می کند.

1. معرفی

نتایج حاصل شده در این مقاله با دو چالش مهم در روش های عددی کاربردی محاسبات کسری مطرح شده است.

اولا، تا زمان های اخیر، مشتقات کسری با استفاده از گره های همسطح مخالف بودند. این ریشه در تعریف معروف Grünwald-Letnikov از تقسیم ترتیب کسری دارد که بر مبنای تعمیم دیفرانسیل های متناهی که در شبکه همسطح تعریف شده است، ریشه دارد و ساده ترین و تقریبا کارآمد برای ارزیابی عددی مشتقات کسری است. این روش Grünwald-Letnikov مبتنی بر تقسیم مشتقات کسری تاثیر بسیار مهمی بر روش تفکر در محاسبات کسری داشت که حتی انتگرال های کسری نیز به طور معمول بر روی شبکه های equidistant، هماهنگ شده بودند. با این حال، روشن است که برای انتگرال های کسری لازم نیست. از سوی دیگر، مشخص نیست که چه چیزی می تواند با تقریب انتگرال های کسری در شبکه های غیرمتمرکز انجام شود، اگر فرد می خواهد رویکرد یکنواختی را برای تقسیم مشتقات کسری و انتگرال های کسری داشته باشد.

دوم، حل معادلات دیفرانسیل کسری در فواصل زمانی بزرگ یک مشکل محاسباتی است به این دلیل که تعداد نقاطی که در محاسبات در نظر گرفته شده با رشد متغیر زمان رشد می کند. این ناشی از خصوصیات غیر محلی تقارن مرتبه ترتیب است. تا کنون تنها کمک در این رابطه "اصل حافظه کوتاه" بود [1]. روش های شناخته شده از راه حل های عددی کلاسیک معادلات دیفرانسیل صحیح، به ویژه تکنیک های متغیر گام به گام برای معادلات دیفرانسیل کسری موجود نیست.

توسعه سیستماتیک و پیوسته رویکرد ماتریسی [2] به ما امکان می دهد تا پاسخ هایی را برای هر دو چالش پیدا کنیم و در این مقاله ما آنها را به عنوان دو روش متقابل مرتبط برای حل مسائل محاسبات کسری گسسته بر روی تقسیم بندی غیر یکنواخت شبکه ها علاوه بر این، ما این رویکرد را به اپراتورهایمرتب توزیع شده و معادلات دیفرانسیل مرتب توزیع شده گسترش می دهیم.

ما با نشان دادن چگونگی رویکرد ماتریس به ارزیابی عددی انتگرال و مشتقات تقسیم شده در شبکه های غیرمتمرکز و نحوه معادلات دیفرانسیل مختلط با مشتقات مرتبه ثابت می توان در چنین شبکه هایی حل کرد. این در نهایت تقسیم بندی مشتقات کسری و انتگرال های کسری را در شبکه های دلخواه (equidistant and non-equidistant) تقسیم می کند.

پس از آن ما گام بعدی را بسط می دهیم و رویکرد ماتریس را به تقسیم کننده های اپراتورهای توزیع شده نظم و راه حل عددی معادلات دیفرانسیل توزیع شده گسترش می دهیم.

سپس، ما تمرکز را بر روی استفاده از طول گام متغیر برای حل معادلات دیفرانسیل کسر می کنیم. در این مقاله، ما برای اولین بار روش ارائه شده را "روش گام های بزرگ" می نامیم. ما چارچوب کلی را ارائه می دهیم و این روش را با یک مثال عددی نشان می دهیم که برای اهداف تصدیق اجازه می دهد تا راه حل  دقیق نیز ارائه شود.

از آنجا که هر "قدم بزرگ" شامل مجموعه ای از "مراحل کوچک" می شود، می توان آن را با استفاده از رویکرد ماتریس انجام داد و "مراحل کوچک" می تواند به طور مساوی یا غیر متقابل باشد. این نشان داده شده توسط قطعات کوچکی از کد متلب با استفاده از جعبه ابزار عمومی موجود است [3،4].

روش های ارائه شده در این مقاله، در نهایت، امکان تقسیم و ادغام سیگنال های غیر یکنواخت نمونه و توسعه تکنیک های متغیر گام به گام برای حل معادلات دیفرانسیل کسر (معمولی و جزئی) را فراهم می کند.

ملاحظات پایه استاندارد و تعاریف اساسی مشتقات کسری و انتگرال های کسری را می توان در Podlubny [1]، Samko et al. [5] و Kilbas و همکاران. [6].

2. ادغام و تقسیم تقاربی در شبکه های غیرمتمرکز

گرچه  در كاربردشبكه هاي متقارن  اغلب موارد استفاده مي شوند، در بسياري از موارد استفاده از شبكه هاي غير متقارن ​​داراي مزاياي قابل توجه هستند. به عنوان مثال، در  روش های عددی برای حل معادلات دیفرانسیل از یک زمان متغیر پله ای استفاده می کنند. بنابراین تکنیک،گام زمانی می تواند بسته به اینکه چگونه سرعت راه حل  تغییر می کند، افزایش یا کاهش یابد.

در حال حاضر، مشتقات کسری با استفاده ازگره های همسطح ثابت گسسته می شوند. البته، به دلیل تعریف معروف Grünwald-Letnikov از دیفرانسیل مرتب  جزئی، که بر مبنای تعمیم دیفرانسیل های متناهی تعریف شده در یک شبکه متقارن است.

رویکرد ماتریسی را برای تفسیر انتگرال و مشتقات نظم واقعی دلخواه، که توسط Podlubny [2،7]، اجازه می دهد تا ما را به منظور به طور کلی توجیه انتگرال و مشتقات خرده مقیاس را به شبکه های غیر متقابل است. ایده این است که برای اولین بار یک ماتریس اختیاری Iα برای یکپارچگی سفارش α ایجاد کنید. پس از اینکه ماتریس Iα برای یکپارچگی کسری گسسته در یک شبکه غیرمتمرکز به دست می آید، می توانیم به راحتی ماتریس Dα را برای تقسیم مشتقات مرتبه ی ماتریس بوسیله انتگرال ماتریسی بدست آوریم: در ساده ترین حالت، تابع تحت تمایز می تواند تقریبی با یک قطعه تابع ثابت و برای گره های غیر تساوی اختیاری tk (k = 1، ...، N)، ضرایب ماتریس Iα مثلثی پایین تر می توانند به صورت زیر به صورت زیر بررسی شوند: -2.1with2.2 دیگر فرمول ها برای ادغام عددی، عبارت های دیگر برای ضرایب Ik ، j؛ با این حال، همانطور که در زیر نشان داده شده است، حتی این تقریب ساده کار می کند خوب است. در مورد گره های غیر متعادل، با این حال، ماتریس Iα و Dα ماتریس نوار نیست، اگر چه برای یکپارچه انتگرال fractional و مشتقات آنها هنوز مثلثی است. مثال هایی که در زیر آورده شده است، ما از گره های غیر متقارن تولید شده با مراحل تصادفی استفاده می کنیم. ما نقاط تصادفی N را بین 0 و 1 تولید می کنیم، آنها را به ترتیب صعودی مرتب می کنیم و سپس به فاصله زمانی در نظر گرفته شده از طول الگوریتم مقیاس می دهیم. پس از آن، اولین و آخرین گره های به طور تصادفی تولید شده با مرز دقیق چپ و راست فاصله (a) مثال 1: ارزیابی integral ها و مشتقات مرتب اعداد صحیح به ما تابع را در نظر می گیریم. در شکل 1، مشتق دقیق مرتبه اول (خط خط خطی) و دقیق آن (خط نقطه خط نقطه) یکپارچه (خط نقطه خط نقطه) نشان داده شده است. شکل بارگذاری شده در tab tab جدید دانلود پاورپوینت 1. پیکربندی و ارزیابی تقریبی مشتق مرتبه اول و یکپارچگی یک بار در شبکه از 200 گره غیر متقارن تصادفی. نتایج تفاضل عددی (خط جامد) و ادغام عددی (خط نقطه خط نقطه) از همان عملکرد با استفاده از رویکرد ماتریس در شبکه غیر متقابل 200 گره های تولید شده به طور تصادفی در فاصله [0، 2] نیز در شکل 1 نشان داده شده اند. (ب) مثال 2: ارزیابی انتگرال ها و مشتقات مرتب سازی جزئی. روش پیشنهادی مناسب برای ارزیابی انتگرال ها و مشتقات مرتبه ی کسری است. در شکل 2 و 3، انتگرال های تقسیم و مشتقات سفارشات α = 0.1، α = 0.3، α = 0.5 و α = 0.7 از تابع هستند. هر مشتق شده با استفاده از مراحل غیر متقارن با راه حل به دست آمده، با استفاده از رویکرد ماتریس با مراحل equidistant، مقایسه شده است. مسابقه توافق خوبي از نتايج را نشان مي دهد. شکل بار باز کردن در tab tab جدید دانلود PowerpointFigure 2. ارزیابی اکتسابی و تقریبی انتگرال های αth-order در شبکه 200 گره های غیر تصادفی تصادفی برای α = 0.1، 0.3، 0.5 و 0.7. در tab tab جدید دانلود PowerpointFigure 3. ارزیابی تقریبی و تقریبی مشتقات α-order در شبکه از 200 گره تصادفی غیر متقارن برای α = 0.1، 0.3، 0.5 و 0.7.3. حل معادلات دیفرانسیل کسری در شبکه های غیرمتمرکز. با استفاده از آنالوگهای گسسته مشتقات مرتبه ی کسری در یک شبکه غیرمتمرکز، ما می توانیم به راحتی و به راحتی حل اختلاف و حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری را بر روی چنین شبکه ها انجام دهیم. ما رویکرد توسعه یافته را در دو مسئله معیارهای کلاسیک نشان می دهیم: معادله آرامش بخش تقاربی دوجانبه و معادله بگلی-تورویک (a) مثال 3: معادله آرام سازی کسری در اولین کار بر روی روش ماتریس برای محاسبه کسری گسسته [2] زیر معادله دیفرانسیل کسر دوقطبی نمونه از لحاظ مشتقات Caputo [1] تحت شرایط اولیه صفر مورد بررسی قرار گرفت: 3.1 راه حل دقیق تحلیلی این مشکل می تواند با استفاده از تابع Mittag-Leffler بیان شود: 3.2 در شکل 4، مقایسه راه حل دقیق تحلیلی (خط نقطه نقطه) و راه حل عددی به دست آمده با استفاده از رویکرد توسعه یافته (خط جامد) با استفاده از گره های غیرمتمرکز (با N = 500) برای مورد α = 1.8 نشان داده شده است. شکل بارگذاری در پنجره جدید بازشده PowerPoint شکل 4 . حل مسئله و عددی مشکل (3.1). خط نقطه خط نشان دهنده راه حل تحلیلی است. معادله نوسانگر کسل کننده همانطور که قبلا ذکر شد، روش پیشنهادی اجازه می دهد راه حل ساده معادلات دیفرانسیل معمولی با مشتقات نظم واقعی دلخواه (عدد صحیح و غیر عدد صحیح) فراهم شود. بگذارید مسئله اولیه اولیه کلاسیک را برای معادله بگلی-تورویک (همچنین به عنوان fract damped شناخته شود) را در نظر بگیریم

معادلات نوسانگر ional): 3.3 راه حل های معادله بگلی-تورویک برای A = 1، B = 1، C = 1 در فاصله زمانی    [0؛ 30]، با استفاده از دو روش بدست آمده، در شکل 5 نشان داده شده است و راه حل ها از همان مشکل   برای A = 1، B = 0.5، C = 0.5 در شکل 6 نشان داده شده است. در هر دو مورد، تعداد مراحل گسسته سازی 400 تا است. خطوط نقطه ای نشان دهنده راه حل های عددی است که با استفاده از مراحل equidistant (با          h = 0.075 ) و خطوط جامد نشان دهنده راه حل های عددی با همان تعداد مراحل غیر متقارن به صورت تصادفی تولید شده است. شکل دوم دانلود Openpoint in new tabDownload پاورپوینت 5.Solution معادله بگل-تورویک برای A = 1، B = 1، C = 1. خط نقطه نقطه مراحل equidistant را نشان می دهد خط جامد گام های غیر متقارن را نشان می دهد. شکل بارگذاری مجدد در tabDownload جدید. پاورپوینت 6. حل معادله بلیک-تورویک برای A = 1، B = 0.5، C = 0.5. خط نقطه نقطه مراحل equidistant را نشان می دهد خط جامد مراحل غیر متقارن را نشان می دهد. حل معادلات دیفرانسیل توزیع شده در شبکه های غیرمتمرکز. ارائه شده از ماتریس رویکرد به تقسیم انتگرال و مشتقات نظم غیر انتگرال و راه حل عددی معادلات با چنین اپراتورها در شبکه های غیر همسطح می توان برای حل توزیع مرتبه معادلات دیفرانسیل، همچنین. در این مقاله، ما از تعریف زیر از اپراتور دیفرانسیل / انتگرال توزیع شده استفاده می کنیم [8]: 4.1 جایی که w (α) تابع وزن توزیع نظم α∈ [γ1، γ2] را نشان می دهد. تابع وزن w (α) به صورت نرمالیزه شده است، بنابراین 2،2 ایده معادلات دیفرانسیل توزیع شده، ابتدا احتمالا توسط Caputo [9،10] معرفی شد. همانطور که Jiao و همکاران. [8] اخيرا نشان داده شده است مشتقات توزيع شده را مي توان به صورت 4، 3 و 4 4 جاي داد. ماتريس هاي Bαk آنالوگ هاي گسسته مشتقات کسري از سفارشات αk در يک شبکه داده در مورد ما در يک شبکه غيرمتوسط ​​است. ماتریس Bαk برای تمایز گسسته مرتبه αk در یک شبکه غیرمتوسط ​​به عنوان پیشین توصیف شده است و سپس ماتریس Bw (α) برای تمایز تقسیم گسسته جداگانه در یک شبکه غیر یکپارچه با استفاده از رابطه (4.4) محاسبه می شود. (a) مثال 5: معادله آرامش توزیع شده سفارش داده شده است. ما مسئله اولیه  زیر را برای معادله آرامش نظم توزیع شده را در نظر می گیریم: 4.5 و 4. 6where the distribution of orders a is given by function w (a) = 6α (1- α) (0≤α≤1). برای استفاده از رویکرد ماتریس، ما نیاز به شرایط اولیه صفر داریم. معرفی یک تابع کمکی u (t)، مسئله مقدار اولیه زیر را برای جدید ناشناخته u (t) می دهد: 4.7and4.8. تقسیم بندی معادله (4.7) به طور معمول در رویکرد ماتریسی، سیستم زیر معادلات جبری را در فرم ماتریس: 4.9where Un بردار مقادیر u (t) در گره های اختیاری است، و Fn بردار مقادیر سمت راست، f (t) -b، در همان گره ها است؛ En ماتریس هویت است. نتایج محاسبات در مورد 500 گره به طور تصادفی تولید شده در فاصله [0.5] برای b = 0.1 در شکل 7 نشان داده شده است. آنها در توافق با راه حل عددی به دست آمده برای همان تعداد گره های یکنواخت فاصله (خط نقطه چین در شکل 7). بارگذاری رقمی باز کردن در tab Tab جدید دانلود پاورپوینت. شکل 7. حل معادله آرامش توزیع شده  در برابر equidistant (خط نقطه چین) و در غیر (b) مثال 6: oscillator order-distributed order ما یک مسئله ارزش اولیه برای معادله بگل-تورویک را در نظر می گیریم، جایی که اصطلاح فرو رفتن از نظر مشتق های نظم توزیع بیان شده است: 4.10and4.11 Similar to مثال 5، ما فقط اپراتورهای پیوسته با آنالوگهای گسسته ماتریس متناظر خود را در شبکه های غیرمتمرکز در نظر گرفته شده و عملکرد شناخته شده و ناشناخته توسط بردارهای مقادیر آنها در گره های اختیاری تعویض می کنیم. این به سیستم جبری زیر در فرم ماتریس می دهد: 4.12 نتایج محاسبات در مورد 400 گره به طور تصادفی تولید شده در فاصله [0.30] برای A = 1، B = 1، C = 1، φ (α) = 6α (1-α)، α∈ [0،1] در شکل 8 توسط خط جامد نشان داده شده است. آنها در توافق آشکار با راه حل عددی به دست آمده برای همان تعداد گره های یکنواخت فاصله (خط نقطه چین در شکل 8) در توافق آشکار است. بارگیری رقم باز کردن در tab tab جدید دانلود پاورپوینت 8. حل معادله بلیک-تورویک توزیع شده برای A = 1، B == 1، C = 1، φ (α) = 6α (1-α)، α∈ [0،1]، در راستای راست (خط نقطه خطی) و در شبکه های غیرمتمرکز (خط جامد). پیاده سازی Matlab از ماتریس رویکرد به فریبندگی اپراتورهای توزیع شده و راه حل عددی معادلات دیفرانسیل توزیع شده را می توان در بروز رسانی به جعبه ابزار در دسترس یافت [11] .5. روش "قدم های بزرگ"، ایده روش پیشنهادی "مراحل بزرگ" را در یک مسئله آسان برای نمونه و نمونه، که اجازه می دهد راه حل دقیق تحلیلی را نشان دهد، نشان می دهد. در این بخش، ما ترجیح می دهیم با استفاده از قطعه های کوچک از کد Matlab به منظور نشان دادن سادگی روش، و ایده چگونه 'مراحل بزرگ' انجام می شود. (الف) مشکل نمونه در فاصله (0، 2) آنمعادلات نوسانگر ional): 3.3 راه حل های معادله بگلی-تورویک برای A = 1، B = 1، C = 1 در فاصله زمانی [0؛ 30]، با استفاده از دو روش بدست آمده، در شکل 5 نشان داده شده است و راه حل ها از همان مشکل برای A = 1، B = 0.5، C = 0.5 در شکل 6 نشان داده شده است. در هر دو مورد، تعداد مراحل discretizaton 400 است. خطوط نقطه ای نشان دهنده راه حل های عددی است که با استفاده از مراحل equidistant (با h = 0.075 ) و خطوط جامد نشان دهنده راه حل های عددی با همان تعداد مراحل غیر متقارن به صورت تصادفی تولید شده است. شکل دوم دانلود Openpoint in new tabDownload پاورپوینت 5.Solution معادله بگل-تورویک برای A = 1، B = 1، C = 1. خط نقطه نقطه مراحل equidistant را نشان می دهد خط جامد گام های غیر متقارن را نشان می دهد. شکل بارگذاری مجدد در tabDownload جدید. پاورپوینت 6. حل معادله بلیک-تورویک برای A = 1، B = 0.5، C = 0.5. خط نقطه نقطه مراحل equidistant را نشان می دهد خط جامد مراحل غیر متقارن را نشان می دهد. حل معادلات دیفرانسیل توزیع شده در شبکه های غیرمتمرکز. ارائه شده از ماتریس رویکرد به تقسیم انتگرال و مشتقات نظم غیر انتگرال و راه حل عددی معادلات با چنین اپراتورها در شبکه های غیر همسطح می توان برای حل توزیع مرتبه معادلات دیفرانسیل، همچنین. در این مقاله، ما از تعریف زیر از اپراتور دیفرانسیل / انتگرال توزیع شده استفاده می کنیم [8]: 4.1 جایی که w (α) تابع وزن توزیع نظم α∈ [γ1، γ2] را نشان می دهد. تابع وزن w (α) به صورت نرمالیزه شده است، بنابراین 2،2 ایده معادلات دیفرانسیل توزیع شده، ابتدا احتمالا توسط Caputo [9،10] معرفی شد. همانطور که Jiao و همکاران. [8] اخيرا نشان داده شده است مشتقات توزيع شده را مي توان به صورت 4، 3 و 4 4 جاي داد. ماتريس هاي Bαk آنالوگ هاي گسسته مشتقات کسري از سفارشات αk در يک شبکه داده در مورد ما در يک شبکه غيرمتوسط ​​است. ماتریس Bαk برای تمایز گسسته مرتبه αk در یک شبکه غیرمتوسط ​​به عنوان پیشین توصیف شده است و سپس ماتریس Bw (α) برای تمایز تقسیم گسسته جداگانه در یک شبکه غیر یکپارچه با استفاده از رابطه (4.4) محاسبه می شود. (a) مثال 5: معادله آرامش توزیع شده سفارش داده شده است. ما مسئله اولیه اولیه زیر را برای معادله آرامش نظم توزیع شده را در نظر می گیریم: 4.5 و 4. 6where the distribution of orders a is given by function w (a) = 6α (1- α) (0≤α≤1). برای استفاده از رویکرد ماتریس، ما نیاز به شرایط اولیه صفر داریم. معرفی یک تابع کمکی u (t)، مسئله مقدار اولیه زیر را برای جدید ناشناخته u (t) می دهد: 4.7and4.8. تقسیم بندی معادله (4.7) به طور معمول در رویکرد ماتریسی، سیستم زیر معادلات جبری را در فرم ماتریس: 4.9where Un بردار مقادیر u (t) در گره های اختیاری است، و Fn بردار مقادیر سمت راست، f (t) -b، در همان گره ها است؛ En ماتریس هویت است. نتایج محاسبات در مورد 500 گره به طور تصادفی تولید شده در فاصله [0.5] برای b = 0.1 در شکل 7 نشان داده شده است. آنها در توافق با راه حل عددی به دست آمده برای همان تعداد گره های یکنواخت فاصله (خط نقطه چین در شکل 7). بارگذاری رقمی باز کردن در tab Tab جدید دانلود پاورپوینت. شکل 7. حل معادله آرامش توزیع شده توزیع شده در برابر equidistant (خط نقطه چین) و در غیر (b) مثال 6: oscillator order-distributed order ما یک مسئله ارزش اولیه برای معادله بگل-تورویک را در نظر می گیریم، جایی که اصطلاح فرو رفتن از نظر مشتق های نظم توزیع بیان شده است: 4.10and4.11 Similar to مثال 5، ما فقط اپراتورهای پیوسته با آنالوگهای گسسته ماتریس متناظر خود را در شبکه های غیرمتمرکز در نظر گرفته شده و عملکرد شناخته شده و ناشناخته توسط بردارهای مقادیر آنها در گره های اختیاری تعویض می کنیم. این به سیستم جبری زیر در فرم ماتریس می دهد: 4.12 نتایج محاسبات در مورد 400 گره به طور تصادفی تولید شده در فاصله [0.30] برای A = 1، B = 1، C = 1، φ (α) = 6α (1-α)، α∈ [0،1] در شکل 8 توسط خط جامد نشان داده شده است. آنها در توافق آشکار با راه حل عددی به دست آمده برای همان تعداد گره های یکنواخت فاصله (خط نقطه چین در شکل 8) در توافق آشکار است. بارگیری رقم باز کردن در tab tab جدید دانلود پاورپوینت 8. حل معادله بلیک-تورویک توزیع شده برای A = 1، B == 1، C = 1، φ (α) = 6α (1-α)، α∈ [0،1]، در راستای راست (خط نقطه خطی) و در شبکه های غیرمتمرکز (خط جامد). پیاده سازی Matlab از ماتریس رویکرد به فریبندگی اپراتورهای توزیع شده و راه حل عددی معادلات دیفرانسیل توزیع شده را می توان در بروز رسانی به جعبه ابزار در دسترس یافت [11] .5. روش "قدم های بزرگ"، ایده روش پیشنهادی "مراحل بزرگ" را در یک مسئله آسان برای نمونه و نمونه، که اجازه می دهد راه حل دقیق تحلیلی را نشان دهد، نشان می دهد. در این بخش، ما ترجیح می دهیم با استفاده از قطعه های کوچک از کد Matlab به منظور نشان دادن سادگی روش، و ایده چگونه 'مراحل بزرگ' انجام می شود. (الف) مشکل نمونه در فاصله (0، 2) آن...با استفاده از چنین مشتقات در شبکه های غیر متقارن. ماتریس روش بسیار آسان، الگوریتمی، مدولار و راحت است که یک راه حل عددی بسیاری از انواع مشکلات در تنظیمات مختلف را متحد می کند. در نمونه های این مقاله ما برای سادگی تنها معادلات دیفرانسیل معمولی با مشتقات متعارف استفاده می شود؛ معادلات دیفرانسیل دیفرانسیل در شبکه های غیرمتمرکز می تواند با استفاده از تکنیک منتشر شده در اوایل [7] حل شود. البته، روش پیشنهاد شده می تواند برای معادلات حاوی هر ترکیبی از مشتقات چپ، راست و دو طرفه دستورات عدد صحیح ، سفارشات ثابت غیر عدد صحیح و سفارشات توزیع شده در شبکه های equidistant (uniform) یا non-equidistant (non uniform). در همه موارد، این مشتقات به سادگی با آنالوگهای گسسته آنها در قالب ماتریسهای قابل محاسبه جایگزین جایگزین می شوند. روش های ارائه شده در این مقاله در نهایت به تمایز و تقسیم بندی تقسیم بندی و همچنین تقسیم بندی و یکپارچگی توزیع شده نظم از نمونه های غیر یکنواخت نمونه سیگنال ها. روش پیشنهاد شده از "مراحل بزرگ" اجازه می دهد تا در بسیاری از موارد محدودیت های "اصل حافظه کوتاه مدت" را جلو بیاوریم و راه حل های عددی را در فواصل بزرگ با دقت بیشتری به دست آوریم. در عین حال، روش "مراحل بزرگ" در نهایت اجازه می دهد تا تکنیک های متغیر و انطباقی-گام به گام برای حل معادلات دیفرانسیل از نظم غیر عددی (عادی و جزئی) اجازه می دهد. ما می خواهیم اشاره کنیم که انواع دیگر تلاش های مربوط به استفاده از شبکه های غیرمتمرکز برای حل عددی معادلات دیفرانسیل کسر می تواند در مطالعات اخیر یافت شود [14،15] و برخی از روش های موجود مانند روش کوکاکشی [16،17] یا روش های عددی صریح [18] می توان از لحاظ شبکه های غیرمتمرکز نیز به صورت مجدد بررسی شود. شناسایی این کار بخشی از کمک های مالی (nos APVV 0040-07، SK-UA-0042-09 و VEGA 1/0497/11، 1/0729/12 و 1/0746/11) .FootnotesOne کمک از 14 به یک موضوع موضوع 'محاسبه کسری و برنامه های کاربردی آن. © 2013 نویسندگان. منتشر شده توسط انجمن سلطنتی تحت شرایط مجوز صدور مجوز خلاقیت های عادی http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/، که اجازه استفاده بدون محدودیت را فراهم می کند، نویسنده و منبع اصلی را به عهده می گیرد. References▌Podlubny I. 1999 Dropctional معادلات دیفرانسیل. سن دیه گو، کالیفرنیا: Academic Press.↵Podlubny I. 2000 روش ماتریسی به محاسبات کسری گسسته. شکستن Calc کاربرد مقعد 3، 359-386. doi: 10.1016 / j.jcp.2009.01.014 (doi: 10.1016 / j.jcp.2009.01.014) CrossRefGoogle Scholar↵Podlubny I، Skovranek T، Vinagre Jara BM. 2008 ماتریس رویکرد به تقسیم ODE ها و PDE ها از نظم واقعی دلخواه (یک جعبه ابزار MATLAB). به http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/22071 مراجعه کنید. Google Scholar↵Podlubny I، Skovranek T، Vinagre Jara BM. 2009 ماتریس رویکرد به تقسیم بندی معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی از حالت واقعی دلخواه: جعبه ابزار Matlab. در Proc ASME 2009 IDETC / CIE 2009، San Diego، CA، 30 اوت-2 سپتامبر 2009. Article no. DETC2009-86944.Google Scholar، Samko S، Kilbas A، Marichev O. 1993 انتگرال و مشتقات جزئی. نظریه و کاربرد. Yverdon، Switzerland: Gordon and Breach Science Publishers. کیبل AA، Srivastava HM، Trujillo JJ. 2006 تئوری و کاربرد معادلات دیفرانسیل کسری. مطالعات ریاضی شمال هلند، جلد. 204. آمستردام، هلند: Elsevier.↵Podlubny I، Chechkin A، Skovranek T، چن YQ، Vinagre Jara BM. 2009 ماتریس رویکرد به محاسبه کسری گسسته دوم معادلات دیفرانسیل جزئی جزئی. J. Comput. فیزیک 228، 3137-3153. doi: 10.1016 / j.jcp.2009.01.014 (doi: 10.1016 / j.jcp.2009.01.014) CrossRefWeb ScienceGoogle Scholar_Jiao Z، Chen YQ، Podlubny I. 2012 سیستم های دینامیکی توزیع شده. برلین، آلمان: Springer. à Caputo M. 1969 Elasticità e dissipazione. بولونیا، ایتالیا: Zanichelli. -Caputo M. 1995 میانگین معادلات دیفرانسیل و مشتقات تقسیم مشتق شده و فیلتر. Annali دل Universita دی فرارا 41، 73-84. doi: 10.1007 / BF02826009 (doi: 10.1007 / BF02826009) CrossRefGoogle Scholar↵Podlubny I. 2012 ماتریس رویکرد به ODEs و PDE توزیع شده سفارش. http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/.Google Scholar ↵ Lorenzo CF، Hartley T. 2000 مقیاس تقسیم اولیه را وارد کنید. گزارش فنی ناسا / TP-2000-209943. مرکز تحقیقاتی گلن. Google Scholar__Lorenzo CF، Hartley T. 2007 مقدمه، مفهوم سازی، و کاربرد در محاسبات کلی (تقسیم شده). ترس Rev. Biomed. مهندس 35، 447-553. doi: 10.1615 / CritRevBiomedEng.v35.i6.10 (doi: 10.1615 / CritRevBiomedEng.v35.i6.10) CrossRefPubMedGoogle Scholar↵Ford N، Simpson A. 2001 راه حل عددی معادلات دیفرانسیل کسری: سرعت و دقت. عددی الگوریتم ها 26، 333-346. doi: 10.1023 / A: 1016601312158 (doi: 10.1023 / A: 1016601312158) CrossRefWeb ScienceGoogle ScholarSpruse BP، MacDonald ChL، Silva GA. 2010 بهره وری محاسباتی انتشار diffuse با استفاده از حافظه گشتاور سازگار. در Proc چهارمین کارگاه آموزشی IFAC FrDifadenational مورد استفاده و کاربرد آن، Badajoz، اسپانیا، 18-20 اکتبر 2010. (Eds Podlubny I، Vinagre B، Fen YQ، Feliu V، Tejado I. شماره مقاله FDA10-051. Kosice، Slovakía: دانشگاه فنی Kosice؛ و Badajoz، Spain: University of Extremadura.Google Scholar↵Blank L. 1996. درمان عددی معادلات دیفرانسیل در نظم کسری. گزارش تجزیه و تحلیل عددی شماره 287. منچستر مرکز ریاضیات محاسباتی. Google Scholar. Dubois F، Mengué S. 2003 Collocation for معادلات دیفرانسیل کسری الگوریتم های شماره 34، 303-311. doi: 10.1023 / B: NUMA.0000005367.21295.05 (doi: 10.1023 / B: NUMA.0000005367.21295.05) CrossRefWeb ScienceGoogle Scholar ıQuintana Murillo J، Yuste SB. 2011 یک روش متمایز صریح برای حل معادلات نفوذ کوانتومی و موج انتشار در فرم Caputo. J. Comput. Nonlinear Dyn. 6، 021014. doi: 10.1115 / 1.4002687 (doi: 10.1115 / 1.4002687) CrossRefGoogle ScholarView