آزمایش ریشه کوشی

آخرین مطالب

امکانات وب

آزمایش ریشه کوشی

در ریاضیات ، آزمون ریشه ملاک همگرایی ( آزمون همگرایی ) یک سری بی نهایت است . بستگی به کمیت دارد

$limsup_ {n rightarrow infty} sqrt [n] {| a_n |} ،$

جایی که $a_ {n}$ شرایط سریال است و بیان می کند که اگر این مقدار کمتر از یک باشد ، مجموعه کاملاً همگرایی می کند ، اما اگر بیشتر از یک باشد ، اختلاف می یابد. خصوصاً در ارتباط با سری های برق بسیار مفید است .

فهرست

توضیح آزمایش ریشه [ ویرایش ]

نمودار تصمیم گیری برای آزمون ریشه

آزمون ریشه ابتدا توسط آگوستین-لویی کوشی تهیه شد که آن را در کتاب خود Cours d'analyse (1821) منتشر کرد. [1] بنابراین ، گاهی اوقات به عنوان آزمایش ریشه کوشی یا آزمایش رادیکال کوشی شناخته می شود . برای یک سریال

$sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n}.$

آزمون ریشه از عدد استفاده می کند

$C = limsup_ {n rightarrow infty} sqrt [n] {| a_n |} ،$

جایی که "lim sup" حد برتر را نشان می دهد ، احتمالاً ∞ +. [2] توجه داشته باشید که اگر

$lim_ {n rightarrow infty} sqrt [n] {| a_n |} ،$

همگرا می شود و آن را برابر با C می کند و ممکن است به جای آن در آزمون ریشه استفاده شود.

تست ریشه بیان می کند که:

تعدادی سری وجود دارد که C = 1 برای آنها جمع می شود ، به عنوان مثال $textstyle sum 1 / {n ^ 2}$ ، و موارد دیگری نیز وجود دارد که C = 1 و سری متفاوت است ، به عنوان مثال $textstyle sum 1 / n$ .

برنامه برای تغذیه سری [ ویرایش ]

این آزمون را می توان با یک سری قدرت استفاده کرد

$f (z) = sum_ {n = 0} ^ کمبود c_n (zp) ^ n$

که در آن ضرایب c n ، و مرکز p اعداد مختلط هستند و آرگومان z یک متغیر پیچیده است.

شرایط این سری پس از آن که توسط داده شود N = C N ( Z - ص ) N . سپس یکی آزمون ریشه را در a n مانند بالا اعمال می کند. توجه داشته باشید که گاهی اوقات یک سری مانند این را یک سری توان "اطراف p " می نامند ، زیرا شعاع همگرایی شعاع R بزرگترین فاصله یا دیسک با مرکز p است به طوری که این مجموعه برای تمام نقاط z دقیقاً در داخل کشور ( همگرایی در مرز فاصله یا دیسک معمولاً باید جداگانه بررسی شود). نتیجهاز آزمون ریشه اعمال شده برای چنین سری قدرت قضیه کوشی-هادامارد است : شعاع همگرایی دقیقاً $1 / limsup_ {n rightarrow infty} { sqrt [n] {| c_n |}} ،$ مراقبت از اینکه منظور ما واقعاً است ... اگر مخرج 0 باشد.

اثبات همگرایی یک سری Σ a n کاربرد آزمون مقایسه است . اگر برای همه n ≥ N ( N مقداری عدد طبیعی ثابت ) داشته باشیم $sqrt [n] {| a_n |} le k <1 ،$ سپس $| a_n | le k ^ n <1$ . از سری هندسی $sum_ {n = N} ^ بی اعتبار k ^ n$ همگرایی می کند $sum_ {n = N} ^ بی اعتبار | a_n |$ توسط آزمون مقایسه. از این رو Σ a n کاملاً همگراست.

اگر $sqrt [n] {| a_n |}> 1$ برای بسیاری از بی نهایت N ، پس از آن N نتواند به همگرا به 0، از این رو سری واگرا است.

اثبات نتیجه گیری : برای یک سری قدرت Σ a n = Σ c n ( z - p ) n ، با توجه به موارد فوق می بینیم که اگر N وجود داشته باشد ، مجموعه همگرایی می کند به طوری که برای همه n ≥ N ما

$sqrt [n] {| a_n |} = sqrt [n] {| c_n (z - p) ^ n |} <1 ،$

معادل با

$sqrt [n] {| c_n |} cdot | z - p | <1$

برای همه n ≥ N ، این بدان معنی است که برای همگرایی سریال باید داشته باشیم

$| z - p | <1 / sqrt [n] {| c_n |}$ برای همه به اندازه کافی بزرگ n . این معادل گفتن است

$| z - p | <1 / limsup_ {n rightarrow infty} { sqrt [n] {| c_n |}} ،$

بنابراین

$R le 1 / limsup_ {n rightarrow infty} { sqrt [n] {| c_n |}}.$ اکنون تنها مکان دیگری که امکان همگرایی وجود دارد ، زمان است

$sqrt [n] {| a_n |} = sqrt [n] {| c_n (z - p) ^ n |} = 1 ،$

(از آنجا که نقاط> 1 واگرایی می کنند) و این شعاع همگرایی را تغییر نخواهد داد زیرا این فقط نقاطی است که در مرز فاصله یا دیسک قرار دارند

$R = 1 / limsup_ {n rightarrow infty} { sqrt [n] {| c_n |}}.$

مثال 1:

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} { frac {2 ^ {i}} {i ^ {9}}}}$

استفاده از آزمون ریشه و استفاده از این واقعیت که^ {1 / n} = 1،} ${ displaystyle lim _ {n rightarrow infty} n ^ {1 / n} = 1،}$

${ displaystyle C = { sqrt [{n}] {| { frac {2 ^ {n}} {n ^ {9}}} |}} = { frac { sqrt [{n}] {2 ^ {n}}} { sqrt [{n}] {n ^ {9}}}} = { frac {2} {(n ^ {1 / n}) ^ {9}}} = 2}$

از آنجا که ${ displaystyle C = 2> 1 ،}$ سریال واگرا می شود. [3]

مثال 2:

${ displaystyle 1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...}$

آزمون ریشه همگرایی را نشان می دهد زیرا

${ displaystyle r = limsup _ {n to infty} { sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} = limsup _ {n to infty} { sqrt [{n} ] {| .5 ^ {n} |}} =. 5 <1.}$

این مثال نشان می دهد که چگونه آزمون ریشه قویتر از آزمون نسبت است . اگر این نسبت برای این سری بی نتیجه باشد $n$ عجیب است بنابراین ${ displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} =. 5 ^ {n}}$ (اگر نه اگر $n$ حتی است) ، زیرا

${ displaystyle r = lim _ {n to infty} left | { frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} right | = lim _ {n to infty} چپ | { frac {2 cdot .5 ^ {n}} {2 cdot .5 ^ {n}}} راست | = 1.}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Root_test

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 183 تاريخ : جمعه 19 دی 1399 ساعت: 6:16

آزمایش ریشه کوشی

آخرین مطالب

امکانات وب