سطح گاوسی

آخرین مطالب

امکانات وب

سطح گاوسی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک سطح گاوسی استوانه ای معمولاً برای محاسبه بار الکتریکی یک سیم بی نهایت طولانی، مستقیم و "ایده آل" استفاده می شود.

سطح گاوسی یک سطح بسته در فضای سه بعدی است که از طریق آن شار یک میدان برداری محاسبه می شود. معمولا میدان گرانشی ، میدان الکتریکی یا میدان مغناطیسی است . [1] این یک سطح بسته دلخواه S = ∂ V ( مرز یک منطقه 3 بعدی V ) است که در رابطه با قانون گاوس برای میدان مربوطه استفاده می شود ( قانون گاوس ، قانون گاوس برای مغناطیس ، یا قانون گاوس برای گرانش ). انجام یک انتگرال سطحی ، به منظور محاسبه مقدار کل مقدار منبع محصور شده؛ به عنوان مثال، مقدار جرم گرانشی به عنوان منبع میدان گرانشی یا مقدار بار الکتریکی به عنوان منبع میدان الکترواستاتیک، یا برعکس: میدان های توزیع منبع را محاسبه کنید.

برای بتن ریزی، میدان الکتریکی در این مقاله در نظر گرفته شده است، زیرا این رایج ترین نوع میدانی است که مفهوم سطح برای آن استفاده می شود.

سطوح گاوسی معمولاً با دقت انتخاب می شوند تا از تقارن های یک موقعیت برای ساده کردن محاسبه انتگرال سطح استفاده کنند . اگر سطح گاوسی به گونه ای انتخاب شود که برای هر نقطه از سطح، مؤلفه میدان الکتریکی در امتداد بردار عادی ثابت باشد، محاسبه نیازی به یکپارچگی دشوار نخواهد داشت زیرا ثابت هایی که به وجود می آیند را می توان از انتگرال خارج کرد. به عنوان سطح بسته در فضای سه بعدی تعریف می شود که توسط آن شار میدان برداری محاسبه می شود.

سطوح رایج گوسی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: چگالی شارژ

نمونه هایی از سطوح گاوسی معتبر (چپ) و نامعتبر (راست). سمت چپ: برخی از سطوح معتبر گاوسی شامل سطح یک کره، سطح یک چنبره و سطح یک مکعب هستند. آنها سطوح بسته ای هستند که به طور کامل یک حجم سه بعدی را در بر می گیرند. راست: برخی از سطوحی که نمی‌توانند به عنوان سطوح گاوسی استفاده شوند، مانند سطح دیسک ، سطح مربع یا سطح نیمکره. آنها به طور کامل یک حجم سه بعدی را محصور نمی کنند و دارای مرزهایی هستند (قرمز). توجه داشته باشید که صفحات بی نهایت می توانند سطوح گاوسی را تقریب بزنند.

بیشتر محاسبات با استفاده از سطوح گاوسی با اجرای قانون گاوس (برای الکتریسیته) آغاز می شود: [2]

$Phi_E =$ $scriptstyle S$ . ${displaystyle mathbf {E} ;cdot mathrm {d} mathbf {A} ={frac {Q_{text{enc}}}{varepsilon _{0}}}.}$

بنابراین Q enc بار الکتریکی محصور شده توسط سطح گاوسی است.

این قانون گاوس است که هم قضیه واگرایی و هم قانون کولن را ترکیب می کند .

سطح کروی [ ویرایش ]

یک سطح گوسی کروی برای یافتن میدان الکتریکی یا شار تولید شده توسط هر یک از موارد زیر استفاده می شود: [3]

سطح گوسی کروی به گونه ای انتخاب می شود که با توزیع بار متحدالمرکز باشد.

به عنوان مثال، یک پوسته کروی باردار S با ضخامت ناچیز، با بار Q به طور یکنواخت و شعاع R را در نظر بگیرید . می‌توانیم از قانون گاوس برای یافتن بزرگی میدان الکتریکی حاصل E در فاصله r از مرکز پوسته باردار استفاده کنیم. فوراً آشکار می شود که برای یک سطح گوسی کروی با شعاع r R بار محصور صفر است : بنابراین شار خالص صفر است و بزرگی میدان الکتریکی در سطح گاوس نیز 0 است (با اجازه دادن QA = 0 در گاوس قانون، که در آن Q A بار محصور شده توسط سطح گاوسی است).

با همین مثال، با استفاده از یک سطح گاوسی بزرگتر در خارج از پوسته که در آن r > R ، قانون گاوس یک میدان الکتریکی غیر صفر تولید می کند. این به شرح زیر تعیین می شود.

شار خروجی از سطح کروی S برابر است با:

$Phi_E =$ ${displaystyle scriptstyle partial S}$ ${displaystyle mathbf {E} cdot dmathbf {A} =iint _{c}EdAcos 0^{circ }=Eiint _{S}dA}$

مساحت کره شعاع r برابر است

${displaystyle iint _{S}dA=4pi r^{2}}$

که نشان می دهد

${displaystyle Phi _{E}=E4pi r^{2}}$

طبق قانون گاوس، شار نیز چنین است

${displaystyle Phi _{E}={frac {Q_{A}}{varepsilon _{0}}}}$

در نهایت با معادل سازی عبارت Φ E ، قدر میدان E را در موقعیت r بدست می آوریم :

${displaystyle E4pi r^{2}={frac {Q_{A}}{varepsilon _{0}}}quad Rightarrow quad E={frac {Q_{A}}{4 pi varepsilon _{0}r^{2}}}.}$

این نتیجه غیر پیش پا افتاده نشان می دهد که هر توزیع کروی بار هنگامی که از بیرون توزیع بار مشاهده شود، به عنوان یک بار نقطه ای عمل می کند . این در واقع تأیید قانون کولن است . و همانطور که گفته شد، هزینه های خارجی محاسبه نمی شود.

سطح استوانه ای [ ویرایش ]

یک سطح گاوسی استوانه ای برای یافتن میدان الکتریکی یا شار تولید شده توسط هر یک از موارد زیر استفاده می شود: [3]

یک خط بی نهایت طولانی از بار یکنواخت
یک صفحه بی نهایت با بار یکنواخت
استوانه ای بی نهایت طولانی با بار یکنواخت

به عنوان مثال "میدان نزدیک به شارژ خط بی نهایت" در زیر آورده شده است.

نقطه P را در فاصله r از یک بار خط بی نهایت با چگالی بار (بار در واحد طول) λ در نظر بگیرید. سطح بسته ای را به شکل استوانه تصور کنید که محور چرخش آن بار خط است. اگر h طول سیلندر باشد، بار محصور در سیلندر است

${displaystyle q=lambda h,}$

که در آن q بار محصور در سطح گاوسی است. همانطور که در شکل نشان داده شده است سه سطح a ، b و c وجود دارد . مساحت بردار دیفرانسیل d A است ، در هر سطح a ، b و c .

سطح بسته به شکل استوانه ای که بار خطی در مرکز دارد و مناطق دیفرانسیل d A هر سه سطح را نشان می دهد.

عبور جریان شامل سه مشارکت است:

${displaystyle Phi _{E}=}$ $scriptstyle A$ ${displaystyle mathbf {E} cdot dmathbf {A} =iint _{a}mathbf {E} cdot dmathbf {A} +iint _{b}mathbf {E} cdot dmathbf {A} +iint _{c}mathbf {E} cdot dmathbf {A} }$

برای سطوح a و b، E و d A عمود خواهند بود . برای سطح c، E و d A موازی خواهند بود ، همانطور که در شکل نشان داده شده است.

${displaystyle {begin{aligned}Phi _{E}&=iint _{a}EdAcos 90^{circ }+iint _{b}EdAcos 90^{circ }+ iint _{c}EdAcos 0^{circ }&=Eiint _{c}dAend{تراز شده}}}$

مساحت سطح استوانه است

${displaystyle iint _{c}dA=2pi rh}$

که نشان می دهد

${displaystyle Phi _{E}=E2pi rh.}$

طبق قانون گاوس

${displaystyle Phi _{E}={frac {q}{varepsilon _{0}}}}$

برابر با Φ E حاصل می شود

${displaystyle E2pi rh={frac {lambda h}{varepsilon _{0}}}quad Rightarrow quad E={frac {lambda }{2pi varepsilon _{0} r}}}$

جعبه قرص گاوسی [ ویرایش ]

این سطح اغلب برای تعیین میدان الکتریکی به دلیل یک صفحه بار بی نهایت با چگالی بار یکنواخت یا یک صفحه بار با مقداری ضخامت محدود استفاده می شود. جعبه قرص شکل استوانه ای دارد و می توان آن را متشکل از سه جزء در نظر گرفت: دیسک در یک سر استوانه با مساحت πR 2 ، دیسک در انتهای دیگر با مساحت مساوی و کناره استوانه. مجموع شار الکتریکی از طریق هر جزء از سطح متناسب با بار محصور جعبه قرص است که توسط قانون گاوس دیکته شده است. از آنجایی که میدان نزدیک به ورق را می توان به صورت تقریبی ثابت در نظر گرفت، جعبه قرص به گونه ای جهت گیری می شود که خطوط میدان با زاویه عمود بر دیسک ها در انتهای میدان نفوذ کنند و ضلع استوانه موازی با خطوط میدان باشد. .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

↑ Essential Principles of Physics, PM Whelan, MJ Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1
^ مقدمه ای بر الکترودینامیک (ویرایش چهارم)، دی جی گریفیث، 2012، ISBN 978-0-321-85656-2
^پرش به بالا:a b Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6th Edition), PA Tipler, G. Mosca, Freeman, 2008,ISBN0-7167-8964-7

پورسل، ادوارد ام (1985). الکتریسیته و مغناطیس . مک گراو هیل. شابک 0-07-004908-4.
جکسون، جان دی (1998). الکترودینامیک کلاسیک (ویرایش سوم) . وایلی. شابک 0-471-30932-X.

الکترومغناطیس (نسخه دوم) ، IS Grant، WR Phillips، Manchester Physics، John Wiley & Sons، 2008، ISBN 978-0-471-92712-9

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

فیلدها - فصلی از یک کتاب درسی آنلاین

https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_surface

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 30 تاريخ : يکشنبه 19 آذر 1402 ساعت: 2:41

سطح گاوسی

آخرین مطالب

امکانات وب