قضیه

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با Teorema , Theorema یا Theory اشتباه گرفت .

قضیه فیثاغورث حداقل 370 اثبات شناخته شده دارد. [1]

در ریاضیات ، قضیه عبارتی است که ثابت شده یا قابل اثبات است. [a] [2] [ 3] اثبات یک قضیه یک استدلال منطقی است که از قواعد استنتاج یک سیستم قیاسی استفاده می کند تا ثابت کند که قضیه نتیجه منطقی بدیهیات و قضایای قبلاً اثبات شده است.

در ریاضیات رایج، بدیهیات و قواعد استنتاج معمولاً به صورت ضمنی رها می‌شوند، و در این مورد، آنها تقریباً همیشه همان نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل با اصل انتخاب (ZFC) یا یک نظریه کم‌قدرت‌تر هستند، مانند حساب پیانو . [ب] به طور کلی، ادعایی که صریحاً قضیه نامیده می‌شود، نتیجه اثبات شده‌ای است که پیامد فوری سایر قضایای شناخته شده نیست. علاوه بر این، بسیاری از نویسندگان تنها مهم ترین نتایج را به عنوان قضایا واجد شرایط می دانند و از اصطلاحات لم ، گزاره و نتیجه برای قضایای کم اهمیت استفاده می کنند.

در منطق ریاضی ، مفاهیم قضایا و برهان ها به منظور امکان استدلال ریاضی درباره آنها رسمیت یافته است. در این زمینه، گزاره‌ها به فرمول‌های خوش‌تشکیل برخی از زبان‌های رسمی تبدیل می‌شوند . یک نظریه شامل برخی از گزاره های پایه به نام بدیهیات ، و برخی از قواعد استنتاج (که گاهی در بدیهیات گنجانده می شود) است. قضایای نظریه گزاره هایی هستند که با استفاده از قواعد استنباط می توان از بدیهیات استخراج کرد. [ج] این رسمی‌سازی منجر به نظریه اثبات شد ، که امکان اثبات قضایای کلی در مورد قضایا و برهان‌ها را فراهم می‌کند. به‌ویژه، قضایای ناتمامی گودل نشان می‌دهد که هر نظریه ثابتی که شامل اعداد طبیعی است، گزاره‌های درستی درباره اعداد طبیعی دارد که قضایای نظریه نیستند (یعنی نمی‌توان آنها را در داخل نظریه اثبات کرد).

از آنجایی که بدیهیات غالباً انتزاعی از خصوصیات جهان فیزیکی هستند ، ممکن است قضایا بیانگر مقداری حقیقت در نظر گرفته شوند، اما برخلاف تصور قانون علمی که تجربی است ، توجیه صدق یک قضیه صرفاً قیاسی است . [6] [7]

قضیه و حقیقت [ ویرایش ]

تا پایان قرن نوزدهم و بحران بنیادی ریاضیات ، همه نظریه‌های ریاضی از چند ویژگی اساسی ساخته می‌شدند که بدیهی تلقی می‌شدند. به عنوان مثال، حقایقی که هر عدد طبیعی یک جانشین دارد، و اینکه دقیقاً یک خط وجود دارد که از دو نقطه مشخص می گذرد. این خصوصیات اساسی که کاملاً مشهود در نظر گرفته می شدند، اصول یا بدیهیات نامیده می شدند . برای مثال فرضیه های اقلیدس . همه قضایا با استفاده ضمنی یا صریح از این خصوصیات اساسی اثبات می‌شدند و به دلیل شواهد این ویژگی‌های اساسی، یک قضیه ثابت شده به عنوان حقیقت قطعی تلقی می‌شد، مگر اینکه اشتباهی در اثبات وجود داشته باشد. به عنوان مثال، مجموع زوایای داخلی یک مثلث برابر با 180 درجه است و این به عنوان یک واقعیت غیرقابل تردید در نظر گرفته شد.

یکی از جنبه های بحران بنیادی ریاضیات کشف هندسه های غیر اقلیدسی بود که به هیچ تناقضی منجر نمی شود، اگرچه در چنین هندسه هایی مجموع زوایای یک مثلث با 180 درجه متفاوت است. بنابراین، بسته به اینکه فرض پنجم اقلیدس فرض شود یا رد شود، خاصیت "مجموع زوایای یک مثلث برابر با 180 درجه است" صادق است یا نادرست. به طور مشابه، استفاده از ویژگی‌های اساسی «بدیهی» مجموعه‌ها منجر به تناقض پارادوکس راسل می‌شود . این با تشریح قوانینی که برای دستکاری مجموعه ها مجاز است حل شده است.

این بحران با بازنگری مجدد مبانی ریاضیات برای دقیق تر کردن آنها حل شده است . در این مبانی جدید، یک قضیه فرمول خوبی از یک نظریه ریاضی است که از بدیهیات و قواعد استنتاج نظریه قابل اثبات است . بنابراین، قضیه فوق در مورد مجموع زوایای مثلث به این صورت می شود: بر اساس بدیهیات و قواعد استنتاج هندسه اقلیدسی ، مجموع زوایای داخلی مثلث برابر با 180 درجه است . به طور مشابه، پارادوکس راسل ناپدید می شود زیرا در یک نظریه مجموعه بدیهی شده، مجموعه همه مجموعه ها را نمی توان با یک فرمول خوب بیان کرد. به‌طور دقیق‌تر، اگر بتوان مجموعه همه مجموعه‌ها را با یک فرمول خوب بیان کرد، این نشان می‌دهد که این نظریه ناسازگار است و هر ادعای خوب شکل‌گرفته و همچنین نفی آن، یک قضیه است.

در این زمینه، اعتبار یک قضیه تنها به صحت اثبات آن بستگی دارد. مستقل از حقیقت یا حتی اهمیت بدیهیات است. این بدان معنا نیست که اهمیت بدیهیات جالب نیست، بلکه فقط به این معنی است که اعتبار یک قضیه مستقل از اهمیت بدیهیات است. این استقلال ممکن است با اجازه دادن به استفاده از نتایج برخی حوزه‌های ریاضی در حوزه‌های ظاهراً نامرتبط مفید باشد.

یک پیامد مهم این طرز تفکر در مورد ریاضیات این است که اجازه می دهد تا نظریه ها و قضایای ریاضی را به عنوان اشیاء ریاضی تعریف کنیم و قضایا را در مورد آنها اثبات کنیم. به عنوان مثال قضایای ناتمامی گودل هستند . به طور خاص، ادعاهای کاملاً شکل‌گیری شده‌ای وجود دارد که می‌توان ثابت کرد که قضیه‌ای از نظریه محیط نیستند، اگرچه می‌توان آنها را در یک نظریه گسترده‌تر اثبات کرد. به عنوان مثال قضیه گودشتاین است که می توان آن را در حساب Peano بیان کرد ، اما ثابت شده است که در حساب Peano قابل اثبات نیست. با این حال، در برخی از نظریه‌های عمومی‌تر، مانند نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل، قابل اثبات است .

ملاحظات معرفتی [ ویرایش ]

بسیاری از قضایای ریاضی گزاره‌های شرطی هستند که برهان‌های آنها از شرایطی که به عنوان فرضیه یا مقدمات شناخته می‌شوند، نتیجه‌گیری می‌کنند . در پرتو تفسیر برهان به عنوان توجیه حقیقت، نتیجه اغلب به عنوان پیامد ضروری فرضیه ها در نظر گرفته می شود. یعنی اینکه نتیجه در صورت درست بودن فرضیه‌ها صادق است - بدون هیچ فرضی دیگری. با این حال، مشروط می تواند در سیستم های قیاسی خاص ، بسته به معانی اختصاص داده شده به قواعد اشتقاق و نماد شرطی (مثلاً منطق غیر کلاسیک ) متفاوت تفسیر شود.

اگرچه قضایا را می توان به شکل کاملاً نمادین نوشت (مثلاً به عنوان گزاره هایی در حساب گزاره ای )، آنها اغلب به طور غیر رسمی در یک زبان طبیعی مانند انگلیسی برای خوانایی بهتر بیان می شوند. همین امر در مورد براهین نیز صدق می‌کند، که اغلب به‌عنوان استدلال‌های غیررسمی سازمان‌یافته و واضح بیان می‌شوند که قصد دارند خوانندگان را به صحت بیان قضیه بدون تردید متقاعد کنند و اصولاً می‌توان از آن‌ها یک اثبات نمادین رسمی ساخت.

علاوه بر خوانایی بهتر، بررسی استدلال‌های غیررسمی معمولاً آسان‌تر از استدلال‌های صرفاً نمادین است - در واقع، بسیاری از ریاضیدانان ترجیح می‌دهند برهانی را بیان کنند که نه تنها اعتبار یک قضیه را نشان می‌دهد، بلکه به نوعی توضیح می‌دهد که چرا واضح است. درست است، واقعی. در برخی موارد، حتی ممکن است بتوان یک قضیه را با استفاده از تصویر به عنوان اثبات آن اثبات کرد.

از آنجایی که قضایا در هسته ریاضیات قرار دارند، در زیبایی شناسی آن نیز نقش اساسی دارند . قضایا اغلب به‌عنوان «بی‌اهمیت» یا «مشکل» یا «عمیق» یا حتی «زیبا» توصیف می‌شوند. این قضاوت های ذهنی نه تنها از فردی به فرد دیگر، بلکه با زمان و فرهنگ نیز متفاوت است: به عنوان مثال، به عنوان یک دلیل به دست می آید، ساده شده یا بهتر درک می شود، قضیه ای که زمانی دشوار بود ممکن است بی اهمیت شود. [8] از سوی دیگر، یک قضیه عمیق ممکن است به سادگی بیان شود، اما اثبات آن ممکن است شامل ارتباطات شگفت‌انگیز و ظریف بین حوزه‌های متفاوت ریاضیات باشد. آخرین قضیه فرما یک مثال شناخته شده از چنین قضیه ای است. [9]

گزارش غیررسمی قضایا [ ویرایش ]

از نظر منطقی ، بسیاری از قضایا به شکل شرطی اندیکاتور هستند : اگر A، پس B. چنین قضیه ای B را اثبات نمی کند - فقط B نتیجه ضروری A است .در این مورد، A فرضیه قضیه («فرضیه» در اینجا به معنای چیزی بسیار متفاوت از حدس است ) و B نتیجه‌گیری قضیه نامیده می‌شود . این دو با هم (بدون اثبات) گزاره یا گزاره قضیه نامیده می شوند (مثلاً " اگر A، آنگاه B " گزاره است ). به طور متناوب، A و B را می توان به ترتیب مقدم و نتیجه نیز نامید . [10] قضیه "اگر n یک عدد طبیعی زوج است ، پس n / 2 یک عدد طبیعی است" یک مثال معمولی است که در آن فرضیه " n یک عدد طبیعی زوج است" و نتیجه گیری " n / 2 است " همچنین یک عدد طبیعی".

برای اینکه یک قضیه ثابت شود، در اصل باید به عنوان یک گزاره دقیق و صوری قابل بیان باشد. با این حال، قضایا معمولاً به‌جای شکلی کاملاً نمادین به زبان طبیعی بیان می‌شوند – با این پیش‌فرض که می‌توان یک گزاره رسمی را از حالت غیررسمی استخراج کرد.

در ریاضیات رایج است که تعدادی از فرضیه ها را در یک زبان مشخص انتخاب می کنند و اعلام می کنند که این نظریه شامل تمام گزاره های قابل اثبات از این فرضیه ها است. این فرضیه ها اساس نظریه را تشکیل می دهند و بدیهیات یا فرضیه ها نامیده می شوند. رشته ریاضیات معروف به نظریه اثبات ، زبان های رسمی، بدیهیات و ساختار برهان ها را مطالعه می کند.

یک نقشه مسطح با پنج رنگ به طوری که هیچ دو منطقه با یک رنگ به هم نمی رسند. در واقع می توان آن را به این روش تنها با چهار رنگ رنگ آمیزی کرد. قضیه چهار رنگ بیان می کند که چنین رنگ آمیزی برای هر نقشه مسطحی امکان پذیر است، اما هر اثبات شناخته شده شامل یک جستجوی محاسباتی است که برای بررسی دستی بسیار طولانی است.

برخی از قضایا « بی‌اهمیت » هستند، به این معنا که از تعاریف، بدیهیات و قضایای دیگر به‌طریق آشکاری تبعیت می‌کنند و حاوی هیچ بینش شگفت‌انگیزی نیستند. از سوی دیگر، برخی ممکن است "عمیق" نامیده شوند، زیرا اثبات آنها ممکن است طولانی و دشوار باشد، شامل حوزه هایی از ریاضیات باشد که به طور سطحی از بیان خود قضیه متمایز است، یا ارتباطات شگفت انگیزی را بین حوزه های متفاوت ریاضیات نشان دهد. [11] یک قضیه ممکن است ساده باشد و در عین حال عمیق باشد. یک مثال عالی آخرین قضیه فرما است ، [9] و بسیاری از نمونه های دیگر از قضایای ساده اما عمیق در نظریه اعداد و ترکیبات ، در میان حوزه های دیگر وجود دارد .

قضایای دیگر دلیل شناخته شده ای دارند که نمی توان به راحتی آن را نوشت. بارزترین مثال ها قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است . هر دوی این قضیه ها تنها با تقلیل آنها به یک جستجوی محاسباتی که سپس توسط یک برنامه کامپیوتری تأیید می شود، به درستی شناخته می شوند. در ابتدا، بسیاری از ریاضیدانان این شکل از اثبات را نپذیرفتند، اما به طور گسترده ای پذیرفته شده است. دورون زیلبرگر ، ریاضیدان، حتی تا آنجا پیش رفته است که ادعا می کند اینها احتمالاً تنها نتایج بی اهمیتی هستند که ریاضیدانان تا به حال ثابت کرده اند. [12] بسیاری از قضایای ریاضی را می توان به محاسبات ساده تر کاهش داد، از جمله هویت های چند جمله ای، هویت های مثلثاتی [13] و هویت های فرا هندسی. [14] [ صفحه مورد نیاز ]

ارتباط با نظریه های علمی [ ویرایش ]

قضایا در ریاضیات و نظریه ها در علم از نظر معرفت شناسی تفاوت اساسی دارند . یک نظریه علمی قابل اثبات نیست. ویژگی اصلی آن این است که ابطال پذیر است ، یعنی پیش بینی هایی در مورد جهان طبیعی انجام می دهد که با آزمایش ها قابل آزمایش هستند . هر گونه اختلاف بین پیش‌بینی و آزمایش، نادرستی نظریه علمی را نشان می‌دهد، یا حداقل دقت یا دامنه اعتبار آن را محدود می‌کند. از سوی دیگر، قضایای ریاضی، گزاره‌های صوری کاملاً انتزاعی هستند: اثبات یک قضیه نمی‌تواند شامل آزمایش‌ها یا شواهد تجربی دیگر باشد، به همان شیوه‌ای که چنین شواهدی برای حمایت از نظریه‌های علمی استفاده می‌شود. [6]

حدس کولاتز : یک راه برای نشان دادن پیچیدگی آن، گسترش تکرار از اعداد طبیعی به اعداد مختلط است. نتیجه یک فراکتال است که (براساس جهانی بودن ) شبیه مجموعه ماندلبروت است .

با این وجود، درجاتی از تجربه گرایی و جمع آوری داده ها در کشف قضایای ریاضی دخیل است. با ایجاد یک الگو، گاهی اوقات با استفاده از یک رایانه قدرتمند، ریاضیدانان ممکن است ایده ای در مورد آنچه باید اثبات کنند، و در برخی موارد حتی برنامه ای برای چگونگی شروع به انجام اثبات داشته باشند. همچنین می‌توان یک مثال متقابل پیدا کرد و بنابراین عدم امکان اثبات برای گزاره‌ای که بیان شد، و احتمالاً اشکال محدودی از گزاره اصلی را پیشنهاد کرد که ممکن است برهان‌های امکان‌پذیر داشته باشند.

برای مثال، هم حدس کولاتز و هم فرضیه ریمان مسائل حل نشده شناخته شده ای هستند. آنها به طور گسترده از طریق بررسی های تجربی مورد مطالعه قرار گرفته اند، اما اثبات نشده باقی می مانند. حدس Collatz برای مقادیر شروع تا حدود 2.88 × 10 18 تأیید شده است . فرضیه ریمان تأیید شده است که برای 10 تریلیون صفر اول غیر پیش پا افتاده تابع زتا صادق است . اگرچه اکثر ریاضیدانان می توانند این فرض را تحمل کنند که حدس و فرضیه درست است، هیچ یک از این گزاره ها اثبات شده تلقی نمی شوند.

چنین شواهدی دلیل نمی شود. به عنوان مثال، حدس مرتنز عبارتی است درباره اعداد طبیعی که اکنون نادرست بودن آن شناخته شده است، اما هیچ مثال متقابل صریحی (یعنی یک عدد طبیعی n که تابع مرتنز M ( n ) برابر یا بیشتر از جذر n باشد ) وجود ندارد. شناخته شده: همه اعداد کمتر از 10 14 دارای خاصیت مرتنز هستند و کوچکترین عددی که این خاصیت را ندارد تنها کمتر از نمایی 10 40 × 1.59 است که تقریباً 10 به توان 4.3 × 10 39 است . از آنجایی که تعداد ذرات جهان به طور کلی کمتر از 10 به توان 100 در نظر گرفته می شود (یک گوگول )، هیچ امیدی به یافتن یک مثال متقابل صریح با جستجوی جامع وجود ندارد .

کلمه "نظریه" در ریاضیات نیز وجود دارد تا مجموعه ای از بدیهیات، تعاریف و قضایای ریاضی را نشان دهد، مثلاً در نظریه گروه (به نظریه ریاضی مراجعه کنید ). در علم، به‌ویژه فیزیک، و مهندسی نیز «قضیه‌هایی» وجود دارد، اما آنها اغلب اظهارات و برهانی دارند که در آن مفروضات فیزیکی و شهود نقش مهمی دارند. بدیهیات فیزیکی که چنین «قضیه‌هایی» بر آن‌ها مبتنی است، خود قابل ابطال هستند.

تعدادی اصطلاح مختلف برای گزاره های ریاضی وجود دارد. این عبارات بیانگر نقشی است که عبارات در یک موضوع خاص بازی می کنند. تمایز بین اصطلاحات مختلف گاهی اوقات کاملاً دلخواه است و استفاده از برخی اصطلاحات در طول زمان تکامل یافته است.

• بدیهیات یا فرضیه یک فرض اساسی در مورد موضوع مطالعه است که بدون اثبات پذیرفته می شود. مفهوم مرتبط ، تعریفی است که معنای یک کلمه یا عبارت را بر حسب مفاهیم شناخته شده می دهد. هندسه کلاسیک بین بدیهیات که گزاره های کلی هستند تشخیص می دهد. و فرضیه ها، که گزاره هایی در مورد اجسام هندسی هستند. [15] از نظر تاریخی، بدیهیات به عنوان " بدیهی " تلقی می شدند. امروزه آنها صرفاً درست فرض می شوند.
• حدس عبارت است از گزاره اثبات نشده ای که اعتقاد بر این است که درست باشد. حدس ها معمولاً در انظار عمومی ساخته می شوند و به نام سازنده آنها نامگذاری می شوند (مثلاً حدس گلدباخ و حدس کولاتز ). اصطلاح فرضیه نیز به این معنا به کار می رود (مثلاً فرضیه ریمان ) که نباید با «فرضیه» به عنوان مقدمه برهان اشتباه گرفته شود. اصطلاحات دیگری نیز در مواردی استفاده می‌شوند، برای مثال مشکل زمانی که افراد مطمئن نیستند که آیا این گفته باید درست باشد یا خیر. آخرین قضیه فرما از نظر تاریخی یک قضیه نامیده می شد، اگرچه برای قرن ها فقط یک حدس بود.
• قضیه عبارتی است که صحت آن بر اساس بدیهیات و قضایای دیگر ثابت شده است.
• گزاره، قضیه ای است با اهمیت کمتر، یا قضیه ای است که آنقدر ابتدایی یا بلافاصله بدیهی تلقی می شود که ممکن است بدون اثبات بیان شود. این را نباید با "گزاره" همانطور که در منطق گزاره ای استفاده می شود اشتباه گرفت . در هندسه کلاسیک، اصطلاح «گزاره» به گونه‌ای متفاوت به کار می‌رفت: در « عناصر اقلیدس » ( حدود  300 پیش از میلاد )، همه قضایا و ساختارهای هندسی بدون توجه به اهمیتشان «گزاره‌ها» نامیده می‌شدند.
• لم یک «گزاره جانبی» است - گزاره ای با کاربرد کمی خارج از کاربرد آن در یک اثبات خاص. با گذشت زمان ممکن است یک لم اهمیت پیدا کند و به عنوان یک قضیه در نظر گرفته شود ، اگرچه اصطلاح "لم" معمولاً به عنوان بخشی از نام آن حفظ می شود (مثلا لم گاوس ، لم زورن و لم اساسی ).
• نتیجه ، گزاره‌ای است که بلافاصله از یک قضیه یا بدیهیات دیگر، با اثبات کمی یا بدون نیاز به آن، پیروی می‌کند. [16] نتیجه ممکن است بیان مجدد یک قضیه به شکل ساده‌تر یا برای یک مورد خاص باشد : برای مثال، قضیه "همه زوایای داخلی مستطیل قائم الزاویه هستند " نتیجه ای دارد که "همه زوایای داخلی در یک مستطیل مربع ، زوایای قائم هستند " - مربع حالت خاصی از مستطیل است.
• تعمیم یک قضیه، قضیه ای است با یک گزاره مشابه اما دامنه وسیع تری که از آن می توان قضیه اصلی را به عنوان یک مورد خاص ( نتیجه ) استنتاج کرد . [d]

اصطلاحات دیگری نیز ممکن است به دلایل تاریخی یا عرفی استفاده شوند، به عنوان مثال:

چند قضیه معروف حتی نام‌های خاص‌تری دارند، برای مثال، الگوریتم تقسیم ، فرمول اویلر ، و پارادوکس Banach–Tarski .

یک قضیه و اثبات آن معمولاً به صورت زیر بیان می شود:

قضیه (نام شخصی که آن را ثابت کرده به همراه سال کشف یا انتشار اثبات)

بیان قضیه (گاهی اوقات گزاره نامیده می شود )

اثبات

شرح برهان

پایان

پایان اثبات ممکن است با حروف QED ( quod erat demonstrandum ) یا با یکی از علائم سنگ قبر ، مانند "□" یا "∎"، به معنای "پایان اثبات" که توسط پل هالموس پس از استفاده از آنها در مجلات برای نشان دادن پایان یک مقاله. [17]

سبک دقیق به نویسنده یا انتشارات بستگی دارد. بسیاری از نشریات دستورالعمل ها یا ماکروهایی را برای حروفچینی به سبک خانه ارائه می کنند .

معمولاً قبل از یک قضیه تعاریفی وجود دارد که معنای دقیق اصطلاحات به کار رفته در قضیه را توصیف می کند. همچنین معمول است که قبل از یک قضیه تعدادی گزاره یا لم وجود داشته باشد که سپس در اثبات استفاده می شود. با این حال، لم ها گاهی در اثبات یک قضیه گنجانده می شوند، یا با برهان های تودرتو، یا با براهین آنها پس از اثبات قضیه ارائه می شوند.

پیامدهای یک قضیه یا بین قضیه و اثبات ارائه می شود یا مستقیماً بعد از اثبات. گاهی اوقات، پیامدها برای خود دلایلی دارند که دلیل تبعیت آنها از قضیه را توضیح می دهد.

تخمین زده شده است که هر سال بیش از یک چهارم میلیون قضیه اثبات می شود. [18]

قصیده معروف "ریاضیدان وسیله ای برای تبدیل قهوه به قضایا است" احتمالاً به خاطر آلفرد رنی است ، اگرچه اغلب به همکار رنی، پل اردوس (و رنی ممکن است به اردوس فکر می کرد) که مشهور بود نسبت داده می شود. برای قضایای زیادی که تولید کرد، تعداد همکاری‌هایش و نوشیدن قهوه‌اش. [19]

طبقه بندی گروه های ساده محدود توسط برخی به عنوان طولانی ترین اثبات یک قضیه در نظر گرفته می شود. این شامل ده ها هزار صفحه در 500 مقاله مجله توسط حدود 100 نویسنده است. اعتقاد بر این است که این مقالات با هم یک اثبات کامل را ارائه می دهند، و چندین پروژه در حال انجام امیدوارند که این اثبات را کوتاه و ساده کنند. [20] قضیه دیگری از این نوع قضیه چهار رنگ است که اثبات تولید شده توسط رایانه برای انسان طولانی تر از آن است که بتواند آن را بخواند. این یکی از طولانی ترین برهان های شناخته شده یک قضیه است که بیانیه آن را می توان به راحتی توسط یک فرد غیر روحانی فهمید. [ نیازمند منبع ]

قضایا در منطق [ ویرایش ]

در منطق ریاضی ، نظریه رسمی مجموعه ای از جملات در یک زبان رسمی است . جمله یک فرمول خوب و بدون متغیر آزاد است. جمله ای که عضو یک نظریه است یکی از قضایای آن است و نظریه مجموعه قضایای آن است. معمولاً یک نظریه تحت رابطه نتیجه منطقی بسته است . برخی از حساب ها یک نظریه را تعریف می کنند که تحت رابطه پیامد معنایی بسته شود (⊨، در حالی که دیگران آن را تحت پیامد نحوی یا رابطه مشتق پذیری بسته تعریف می کنند (⊢). [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30]

این نمودار موجودیت های نحوی را نشان می دهد که می توانند از زبان های رسمی ساخته شوند . نمادها و رشته های نمادها ممکن است به طور کلی به فرمول های مزخرف و به خوبی شکل گرفته تقسیم شوند . یک زبان رسمی را می توان با مجموعه فرمول های خوش فرم آن یکسان تصور کرد. مجموعه فرمول های به خوبی شکل گرفته ممکن است به طور کلی به قضایا و غیر قضایا تقسیم شوند.

برای اینکه یک نظریه تحت یک رابطه مشتق پذیری بسته شود، باید با یک سیستم قیاسی مرتبط باشد که نحوه استخراج قضایا را مشخص کند. سیستم قیاسی ممکن است به صراحت بیان شود، یا ممکن است از متن روشن باشد. بسته شدن مجموعه خالی تحت رابطه نتیجه منطقی مجموعه ای را به دست می دهد که فقط شامل آن جملاتی است که قضایای سیستم قیاسی هستند.

در معنای وسیعی که این اصطلاح در منطق به کار می رود، لازم نیست یک قضیه درست باشد، زیرا نظریه ای که آن را در بر می گیرد ممکن است نسبت به معنایی معین، یا نسبت به تفسیر استاندارد زبان زیربنایی نامطلوب باشد. نظریه ای که ناسازگار است همه جملات را به عنوان قضیه دارد.

تعریف قضایا به عنوان جملات یک زبان رسمی در نظریه اثبات مفید است ، که شاخه ای از ریاضیات است که ساختار برهان های صوری و ساختار فرمول های قابل اثبات را مطالعه می کند. همچنین در نظریه مدل که به رابطه بین نظریه های رسمی و ساختارهایی می پردازد که قادر به ارائه یک معناشناسی برای آنها از طریق تفسیر است، اهمیت دارد .

اگرچه قضایا ممکن است جملات تفسیر نشده باشند، اما در عمل ریاضیدانان بیشتر به معانی جملات، یعنی به گزاره هایی که بیان می کنند، علاقه مند هستند. آنچه قضایای صوری را مفید و جالب می کند این است که ممکن است آنها را به عنوان گزاره های صادق و اشتقاقات آنها را دلیلی بر صدق آنها تفسیر کرد. قضیه ای که تفسیر آن یک گزاره درست در مورد یک نظام صوری است (بر خلاف درون یک نظام صوری) فرا قضیه نامیده می شود .

برخی از قضایای مهم در منطق ریاضی عبارتند از:

نحو و معناشناسی [ ویرایش ]

مقالات اصلی: نحو (منطق) و معنای رسمی (منطق)

مفهوم یک قضیه صوری اساساً نحوی است، برخلاف مفهوم یک قضیه صادق که معرف معناشناسی است . سیستم های قیاسی مختلف بسته به پیش فرض های قواعد اشتقاق (یعنی باور ، توجیه یا سایر روش ها ) می توانند تفاسیر دیگری ارائه دهند. استحکام یک سیستم رسمی بستگی به این دارد که آیا همه قضایای آن نیز معتبر هستند یا خیر . روایی فرمولی است که تحت هر تفسیر ممکن صادق است (مثلاً در منطق گزاره‌ای کلاسیک، اعتبارها توتولوژی هستند ). یک سیستم رسمی زمانی از نظر معنایی کامل در نظر گرفته می شود که تمام قضایای آن نیز توتولوژی باشند.

تفسیر یک قضیه صوری [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تفسیر (منطق)

قضایا و نظریه ها [ ویرایش ]

مقالات اصلی: تئوری و نظریه (منطق ریاضی)

https://en.wikipedia.org/wiki/Theorem