معادله دیفرانسیل معمولی

آخرین مطالب

امکانات وب

معادله دیفرانسیل معمولی

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مسیر پرتابه ای که از یک توپ پرتاب می شود از منحنی تعیین شده توسط یک معادله دیفرانسیل معمولی که از قانون دوم نیوتن مشتق شده است، پیروی می کند.

معادلات دیفرانسیل

محدوده

نشان می دهد

زمینه های

طبقه بندی

نشان می دهد

انواع

نشان می دهد

ارتباط با فرآیندها

راه حل

نشان می دهد

وجود و منحصر به فرد بودن

نشان می دهد

مباحث عمومی

نشان می دهد

روش های حل

مردم

نشان می دهد

فهرست کنید

در ریاضیات ، یک معادله دیفرانسیل معمولی ( ODE ) یک معادله دیفرانسیل (DE) است که تنها به یک متغیر مستقل وابسته است . مانند سایر DE، مجهول(های) آن از یک (یا چند تابع) تشکیل شده و مشتقات آن توابع را شامل می شود. [1] اصطلاح "معمولی" در مقابل معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می شود که ممکن است با توجه به بیش از یک متغیر مستقل باشد. [2]

معادلات دیفرانسیل [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل است که توسط یک چند جمله ای خطی در تابع مجهول و مشتقات آن تعریف می شود که معادله ای از شکل است.

، ${displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+cdots +a_{n}(x)y^{(n)} +b(x)=0،}$

جایی که ${displaystyle a_{0}(x)}$ ${displaystyle a_{n}(x)}$ و $b(x)$ توابع قابل تمایز دلخواه هستند که نیازی به خطی بودن ندارند و ${displaystyle y',ldots ,y^{(n)}}$ مشتقات متوالی تابع مجهول y از متغیر x هستند .

در بین معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل خطی به چند دلیل نقش برجسته ای دارند. اکثر توابع ابتدایی و ویژه ای که در فیزیک و ریاضیات کاربردی با آنها مواجه می شوند ، حل معادلات دیفرانسیل خطی هستند (به تابع هولونومی مراجعه کنید ). هنگامی که پدیده های فیزیکی با معادلات غیر خطی مدل می شوند، معمولاً با معادلات دیفرانسیل خطی برای حل آسان تر تقریب می شوند. معدود ODE های غیر خطی که می توانند به طور صریح حل شوند، عموماً با تبدیل معادله به یک ODE خطی معادل حل می شوند (به عنوان مثال معادله Riccati را ببینید ).

برخی از ODE ها را می توان به صراحت از نظر توابع و انتگرال های شناخته شده حل کرد . هنگامی که این امکان پذیر نیست، معادله محاسبه سری تیلور از راه حل ها ممکن است مفید باشد. برای مسائل کاربردی، روش‌های عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی می‌توانند تقریبی از جواب را ارائه کنند.

پس زمینه [ ویرایش ]

معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) در بسیاری از زمینه های ریاضیات و علوم اجتماعی و طبیعی به وجود می آیند . در توصیف های ریاضی تغییر از دیفرانسیل ها و مشتقات استفاده می شود. دیفرانسیل ها، مشتقات و توابع مختلف از طریق معادلات به هم مرتبط می شوند، به طوری که یک معادله دیفرانسیل نتیجه ای است که پدیده ها، تکامل و تغییرات به طور پویا در حال تغییر را توصیف می کند. غالباً کمیت ها به عنوان نرخ تغییر کمیت های دیگر (مثلاً مشتقات جابجایی نسبت به زمان) یا شیب کمیت ها تعریف می شوند که نحوه ورود آنها به معادلات دیفرانسیل است. [ نیازمند منبع ]

رشته های ریاضی خاص شامل هندسه و مکانیک تحلیلی است . زمینه های علمی شامل بسیاری از فیزیک و ستاره شناسی (مکانیک آسمان)، هواشناسی (مدل سازی آب و هوا)، شیمی (نرخ واکنش)، [3] زیست شناسی (بیماری های عفونی، تنوع ژنتیکی)، بوم شناسی و مدل سازی جمعیت (رقابت جمعیت)، اقتصاد (روند سهام). ، نرخ بهره و تغییرات قیمت تعادلی بازار).

بسیاری از ریاضیدانان معادلات دیفرانسیل را مطالعه کرده اند و در این زمینه مشارکت داشته اند، از جمله نیوتن ، لایبنیتس ، خانواده برنولی ، ریکاتی ، کلراوت ، دالامبر و اویلر .

یک مثال ساده قانون دوم حرکت نیوتن است - رابطه بین جابجایی x و زمان t یک جسم تحت نیروی F توسط معادله دیفرانسیل به دست می‌آید.

${displaystyle m{frac {mathrm {d} ^{2}x(t)}{mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t)),}$

که حرکت ذره ای با جرم ثابت m را محدود می کند . به طور کلی، F تابعی از موقعیت x ( t ) ذره در زمان t است . تابع مجهول x ( t ) در دو طرف معادله دیفرانسیل ظاهر می شود و در نماد F ( x ( t ) نشان داده می شود. [4] [5] [6] [7]

تعاریف [ ویرایش ]

در ادامه، y یک متغیر وابسته است که نشان دهنده یک تابع مجهول y = f ( x ) از متغیر مستقل x است . نماد تمایز بسته به نویسنده و اینکه کدام نماد برای کار مورد نظر مفیدتر است متفاوت است. در این زمینه، نماد لایب نیتس (dx،d 2 y/dx 2,…,d n y/dx n) برای تمایز و انتکرال مفیدتر است ، در حالی که علامت لاگرانژ برای نمایش مشتقات مرتبه بالاتر به صورت فشرده و نماد نیوتن مفیدتر است. ${displaystyle ({dot {y}},{ddot {y}},{overset {...}{y}})}$ اغلب در فیزیک برای نشان دادن مشتقات درجه پایین با توجه به زمان استفاده می شود.

تعریف کلی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: ترتیب معادلات دیفرانسیل

با در نظر گرفتن F ، تابعی از x ، y ، و مشتقات y . سپس یک معادله از فرم

${displaystyle Fleft(x,y,y',ldots ,y^{(n-1)}right)=y^{(n)}}$

معادله دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبه n نامیده می شود . [8] [9]

به طور کلی، یک معادله دیفرانسیل معمولی ضمنی از مرتبه n شکل زیر را دارد: [10]

${displaystyle Fleft(x,y,y',y'', ldots , y^{(n)}right)=0}$

طبقه بندی های دیگری نیز وجود دارد:

خود مختار

دیفرانسیل اگر به متغیر x وابسته نباشد مستقل است .

خطی

یک معادله دیفرانسیل خطی است اگراف $اف$ را می توان به صورت ترکیبی خطی از مشتقات y نوشت . یعنی if را می توان به صورت بازنویسی کرد

${displaystyle y^{(n)}=sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

که در آن i ( x ) و r ( x ) توابع پیوسته x هستند . [8] [11] [12] تابع r ( x ) اصطلاح منبع نامیده می شود که منجر به طبقه بندی بیشتر می شود. [11] [13]

همگن

یک معادله دیفرانسیل خطی همگن است اگر r ( x ) = 0 . در این مورد، همیشه " راه حل بی اهمیت " y = 0 وجود دارد .

ناهمگن (یا ناهمگن)

یک معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن است اگر r ( x ) ≠ 0 .

غیر خطی

معادله دیفرانسیل که خطی نیست.

سیستم ODE ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: سیستم معادلات دیفرانسیل

تعدادی از معادلات دیفرانسیل جفت شده یک سیستم معادلات را تشکیل می دهند. اگر y برداری است که عناصر آن توابع هستند. y ( x ) = [ y 1 ( x )، y 2 ( x )،...، y m ( x )] و F تابعی با مقدار برداری از y و مشتقات آن است ، سپس

${displaystyle mathbf {y} ^{(n)}=mathbf {F} left(x,mathbf {y} ,mathbf {y} ',mathbf {y}'',ldots , mathbf {y} ^{(n-1)}right)}$

یک سیستم صریح از معادلات دیفرانسیل معمولی مرتبه n و بعد m است . در شکل بردار ستونی :

${displaystyle {begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}y_{2}^{(n)}vdots y_{m}^{(n)}end{ pmatrix}}={begin{pmatrix}f_{1}left(x,mathbf {y} ,mathbf {y} ',mathbf {y}'',ldots ,mathbf {y} ^{ (n-1)}راست)f_{2}left(x,mathbf {y} ,mathbf {y} ',mathbf {y}'',ldots ,mathbf {y} ^ {(n-1)}right)vdots f_{m}left(x,mathbf {y} ,mathbf {y} ',mathbf {y}'',ldots , mathbf {y} ^{(n-1)}right)end{pmatrix}}}$

اینها لزوما خطی نیستند. آنالوگ ضمنی این است:

اف

${displaystyle mathbf {F} left(x,mathbf {y} ,mathbf {y} ',mathbf {y}'',ldots ,mathbf {y} ^{(n)}راست )={boldsymbol {0}}}$

که در آن 0 = (0، 0، ...، 0) بردار صفر است . به صورت ماتریسی

${displaystyle {begin{pmatrix}f_{1}(x,mathbf {y} ,mathbf {y} ',mathbf {y} '',ldots ,mathbf {y} ^{(n) })f_{2}(x,mathbf {y} ,mathbf {y} ',mathbf {y}'',ldots ,mathbf {y} ^{(n)}) vdots f_{m}(x,mathbf {y} ,mathbf {y} ',mathbf {y}'',ldots ,mathbf {y} ^{(n)})end{pmatrix }}={begin{pmatrix}0�vdots �end{pmatrix}}}$

برای یک سیستم از فرم $mathbf {F} left(x,mathbf {y} ,mathbf {y} 'right)={boldsymbol {0}}$ ، برخی منابع نیز ماتریس ژاکوبین را ایجاب می کنند ∂ ${frac {partial mathbf {F} (x,mathbf {u} ,mathbf {v} )}{partial mathbf {v} }}$ غیر مفرد باشد تا این را یک ODE [سیستم] ضمنی بنامیم. یک سیستم ODE ضمنی که شرایط غیرتکینگی ژاکوبین را برآورده می کند، می تواند به یک سیستم ODE صریح تبدیل شود. در همین منابع، سیستم‌های ODE ضمنی با ژاکوبین منفرد معادلات جبری دیفرانسیل (DAEs) نامیده می‌شوند. این تمایز صرفاً یکی از اصطلاحات نیست. DAE ها اساساً ویژگی های متفاوتی دارند و به طور کلی بیشتر از سیستم های ODE (غیر منفرد) درگیر حل آن هستند. [14] [15] [16] احتمالاً برای مشتقات اضافی، ماتریس هسین و غیره نیز طبق این طرح غیر مفرد در نظر گرفته می شوند، [ نیاز به نقل از ] ، اگرچه توجه داشته باشید که هر ODE از مرتبه بزرگتر از یک می تواند باشد (و معمولاً است) به عنوان سیستمی از ODEهای مرتبه اول بازنویسی شده است ، [17] که معیار تکینگی ژاکوبین را برای جامع بودن این طبقه بندی در همه مرتبه ها کافی می کند.

رفتار یک سیستم از ODE ها را می توان از طریق استفاده از پرتره فاز مشاهده کرد .

راه حل ها [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل داده می شود

ا ${displaystyle Fleft(x,y,y',ldots ,y^{(n)}right)=0}$

یک تابع u : I ⊂ R → R ، جایی که I یک بازه است، منحنی راه حل یا انتگرال برای F نامیده می شود ، اگر u n بار در I قابل تفکیک باشد ، و

${displaystyle F(x,u,u', ldots , u^{(n)})=0quad xin I.}$

با توجه به دو راه حل u : J ⊂ R → R و v : I ⊂ R → R ، u پسوند v نامیده می شود اگر I ⊂ J و

$u(x)=v(x)quad xin I.,$

راه حلی که پسوندی ندارد راه حل حداکثری نامیده می شود . راه حلی که روی تمام R تعریف شده است راه حل جهانی نامیده می شود .

راه حل کلی یک معادله مرتبه n راه حلی است که حاوی n ثابت مستقل دلخواه انتگرال گیری باشد . یک راه‌حل خاص از راه‌حل عمومی با تنظیم ثابت‌ها به مقادیر خاص، که اغلب برای انجام مجموعه « شرایط اولیه یا شرایط مرزی » انتخاب می‌شوند، مشتق می‌شود. [18] راه حل منفرد راه حلی است که نمی توان آن را با اختصاص مقادیر معین به ثابت های دلخواه در جواب کلی به دست آورد. [19]

در زمینه ODE خطی، راه حل خاص اصطلاحی همچنین می تواند به هر راه حل ODE اشاره کند (الزاماً شرایط اولیه را برآورده نمی کند)، که سپس به محلول همگن اضافه می شود (راه حل کلی ODE همگن)، که سپس تشکیل می شود. یک راه حل کلی از ODE اصلی. این اصطلاحی است که در بخش روش حدس زدن در این مقاله استفاده می‌شود و اغلب هنگام بحث در مورد روش ضرایب نامشخص و تغییرات پارامترها استفاده می‌شود .

راه حل های مدت زمان محدود [ ویرایش ]

برای ODE‌های مستقل غیرخطی، تحت برخی شرایط ممکن است راه‌حل‌هایی با مدت زمان محدود ایجاد شود، [20] به این معنی که در اینجا از دینامیک خود، سیستم در یک زمان پایانی به مقدار صفر می‌رسد و برای همیشه در آن صفر باقی می‌ماند. این راه حل های مدت زمان محدود نمی توانند توابع تحلیلی در کل خط حقیقی باشند، و چون در زمان پایان خود توابع غیر لیپشیتز خواهند بود، در قضیه منحصر به فرد بودن جواب های معادلات دیفرانسیل لیپشیتز گنجانده نمی شوند.

به عنوان مثال، معادله:

${displaystyle y'=-{text{sgn}}(y){sqrt {|y|}}،,,y(0)=1}$

راه حل مدت زمان محدود را می پذیرد:

${displaystyle y(x)={frac {1}{4}}left(1-{frac {x}{2}}+left|1-{frac {x}{2}} راست|راست)^{2}}$

نظریه ها [ ویرایش ]

راه حل های مفرد [ ویرایش ]

تئوری جوابهای منفرد معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی موضوع تحقیق از زمان لایب نیتس بود، اما تنها از اواسط قرن نوزدهم مورد توجه ویژه قرار گرفت. یک اثر ارزشمند اما کمتر شناخته شده در این زمینه، اثر فوشیان (1854) است. داربوکس (از سال 1873) در نظریه پیشرو بود و در تفسیر هندسی این راه حل ها زمینه ای را گشود که توسط نویسندگان مختلف، به ویژه کاسوراتی و کیلی کار شده بود . به دلیل دومی (1872) تئوری حل های منفرد معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است که در حدود سال 1900 پذیرفته شده است.

کاهش به ربع [ ویرایش ]

تلاش اولیه در برخورد با معادلات دیفرانسیل کاهش به ربع بود . همانطور که جبر گرایان قرن هجدهم امید داشتند روشی برای حل معادله کلی درجه n بیابند ، تحلیلگران نیز امیدوار بودند که روشی کلی برای انتکرال هر معادله دیفرانسیل بیابند. با این حال، گاوس (1799) نشان داد که معادلات دیفرانسیل پیچیده به اعداد مختلط نیاز دارند . از این رو، تحلیلگران شروع به جایگزینی مطالعه توابع کردند و بدین ترتیب میدانی جدید و حاصلخیز باز کردند. کوشی اولین کسی بود که به اهمیت این دیدگاه پی برد. پس از آن، سؤال حقیقی دیگر این نبود که آیا یک راه حل با استفاده از توابع شناخته شده یا انتگرال آنها امکان پذیر است یا خیر، بلکه این بود که آیا یک معادله دیفرانسیل معین برای تعریف تابعی از متغیر یا متغیرهای مستقل کافی است، و اگر چنین است، چه هستند. خواص مشخصه

نظریه فوشیان [ ویرایش ]

مقاله اصلی: روش فروبنیوس

دو خاطرات فوکس [21] الهام بخش رویکردی بدیع بود که متعاقباً توسط توم و فروبنیوس شرح داده شد . کولت از سال 1869 شروع به کار کرد. روش او برای انتکرال یک سیستم غیر خطی در سال 1868 به برتراند ابلاغ شد. کلبش (1873) این نظریه را در امتداد خطوط موازی با نظریه انتگرال های آبلی خود مورد حمله قرار داد . از آنجایی که می‌توان دومی را بر اساس ویژگی‌های منحنی بنیادی طبقه‌بندی کرد که تحت یک تبدیل منطقی بدون تغییر باقی می‌ماند، کلبش پیشنهاد کرد که توابع متعالی تعریف شده توسط معادلات دیفرانسیل را بر اساس ویژگی‌های ثابت سطوح متناظر f = 0 در زیر منطقی یک به طبقه‌بندی کند. یک تحول.

نظریه لی [ ویرایش ]

از سال 1870، سوفوس لی 'ثانیه کار نظریه معادلات دیفرانسیل را بر اساس بهتر قرار داده است. او نشان داد که نظریه‌های یکپارچه‌سازی ریاضیدانان قدیمی‌تر را می‌توان با استفاده از گروه‌های لی به یک منبع مشترک ارجاع داد، و معادلات دیفرانسیل معمولی که همان تبدیل‌های بی‌نهایت کوچک را پذیرفته‌اند ، مشکلات انتگرال‌گیری قابل مقایسه‌ای دارند. او همچنین بر موضوع تحولات تماس تأکید کرد .

نظریه گروهی Lie در مورد معادلات دیفرانسیل تایید شده است، یعنی: (1) که بسیاری از روش های موردی شناخته شده برای حل معادلات دیفرانسیل را متحد می کند، و (2) که راه های جدید قدرتمندی برای یافتن راه حل ها ارائه می دهد. این نظریه برای معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی کاربرد دارد. [22]

یک رویکرد حل کلی از خاصیت تقارن معادلات دیفرانسیل استفاده می کند، تبدیل بی نهایت کوچک پیوسته راه حل ها به راه حل ها ( نظریه لی ). تئوری گروه پیوسته ، جبرهای لی ، و هندسه دیفرانسیل برای درک ساختار معادلات دیفرانسیل خطی و غیرخطی (جزئی) برای تولید معادلات انتگرال‌پذیر، یافتن جفت‌های Lax ، عملگرهای بازگشتی، تبدیل بکلوند و در نهایت یافتن راه‌حل‌های تحلیلی دقیق استفاده می‌شوند. به DE.

روش‌های تقارن برای معادلات دیفرانسیل که در ریاضیات، فیزیک، مهندسی و سایر رشته‌ها به وجود می‌آیند، استفاده شده‌اند.

نظریه استورم-لیوویل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه اشتورم لیوویل

نظریه اشتورم لیوویل نظریه ای از نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم است. راه حل های آنها بر اساس مقادیر ویژه و توابع ویژه مربوط به عملگرهای خطی است که از طریق معادلات خطی همگن مرتبه دوم تعریف شده اند . این مشکلات به عنوان مشکلات اشتورم-لیوویل (SLP) شناخته می شوند و به نام JCF Sturm و جی لیوویل که آنها را در اواسط دهه 1800 مطالعه کردند، نامگذاری شده اند . SLP ها دارای تعداد نامتناهی مقادیر ویژه هستند و توابع ویژه مربوطه یک مجموعه کامل و متعامد را تشکیل می دهند که بسط های متعامد را ممکن می کند. این یک ایده کلیدی در ریاضیات کاربردی، فیزیک و مهندسی است. [23] SLP ها همچنین در تجزیه و تحلیل برخی معادلات دیفرانسیل جزئی مفید هستند.

وجود و منحصر به فرد بودن راه حل ها [ ویرایش ]

چندین قضیه وجود دارد که وجود و منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌ها را برای مسائل ارزش اولیه که شامل ODE‌ها هم در سطح محلی و هم در سطح جهانی است، ایجاد می‌کنند. دو قضیه اصلی عبارتند از

قضیهفرضنتیجه

قضیه وجود پینوF پیوستهفقط وجود محلی

قضیه پیکارد-لیندلوفF لیپشیتس پیوستهوجود و منحصر به فرد بودن محلی

در شکل اصلی خود، هر دوی این قضیه‌ها فقط نتایج محلی را تضمین می‌کنند، اگرچه دومی را می‌توان برای به دست آوردن یک نتیجه کلی، برای مثال، اگر شرایط نابرابری گرونوال برآورده شود، گسترش داد.

همچنین، قضایای منحصربه‌فرد مانند لیپشیتس در بالا برای سیستم‌های DAE ، که ممکن است راه‌حل‌های متعددی داشته باشند که از بخش جبری (غیر خطی) آنها به تنهایی ناشی می‌شوند، اعمال نمی‌شوند . [24]

وجود محلی و قضیه یگانگی ساده شده [ ویرایش ]

قضیه را می توان به سادگی به صورت زیر بیان کرد. [25] برای معادله و مسئله مقدار اولیه:

${displaystyle y'=F(x,y),,quad y_{0}=y(x_{0})}$ اگر F و ∂ F /∂ y در یک مستطیل بسته پیوسته باشند

${displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$ در صفحه xy ، که در آن a و b حقیقی هستند (به طور نمادین: a , b ∈ R ) و × نشان دهنده حاصلضرب دکارتی است ، براکت ها نشان دهنده فواصل بسته هستند ، سپس یک بازه وجود دارد.

${displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$ برای مقداری h ∈ R که در آن می توان جواب معادله بالا و مسئله مقدار اولیه را پیدا کرد. یعنی راه حل وجود دارد و منحصر به فرد است. از آنجایی که هیچ محدودیتی برای خطی بودن F وجود ندارد ، این امر در مورد معادلات غیرخطی که شکل F ( x , y ) دارند، صدق می کند و همچنین می تواند برای سیستم های معادلات اعمال شود.

منحصر به فرد بودن جهانی و حداکثر دامنه راه حل [ ویرایش ]

هنگامی که فرضیه های قضیه پیکارد-لیندلوف برآورده شود، وجود محلی و منحصر به فرد را می توان به یک نتیجه جهانی تعمیم داد. دقیق تر: [26]

برای هر شرط اولیه ( x 0 , y 0 ) یک بازه باز حداکثر (احتمالا بی نهایت) منحصر به فرد وجود دارد.

${displaystyle I_{max }=(x_{-},x_{+}),x_{pm }in mathbb {R} cup {pm infty },x_{0}in I_{max }}$

به طوری که هر راه حلی که این شرط اولیه را برآورده کند، محدودیت راه حلی است که این شرط اولیه را با دامنه برآورده می کند. $I_{max}$ .

در صورتی که ${displaystyle x_{pm }neq pm infty }$ ، دقیقا دو احتمال وجود دارد

انفجار در زمان محدود: ${displaystyle limsup _{xto x_{pm }}|y(x)|to infty }$
دامنه تعریف را ترک می کند: $lim _{xto x_{pm }}y(x) in partial {bar {Omega }}$

که در آن Ω مجموعه باز است که در آن F تعریف شده است، و¯ $بخشی {bar {Omega }}$ مرز آن است

توجه داشته باشید که حداکثر دامنه راه حل

همیشه یک فاصله است (برای داشتن منحصر به فرد بودن)
ممکن است کوچکتر ازآر $mathbb {R}$
ممکن است به انتخاب خاص ( x 0 ، y 0 ) بستگی داشته باشد.

مثال.

$y'=y^{2}$

این بدان معنی است که F ( x, y ) = y 2 است که C 1 است و بنابراین به صورت محلی لیپشیتس پیوسته است و قضیه پیکارد-لیندلوف را برآورده می کند.

حتی در چنین تنظیمات ساده ای، حداکثر دامنه راه حل نمی تواند همه باشدآر $mathbb {R}$ از آنجایی که راه حل است

$y(x)={frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}$

که دارای حداکثر دامنه است:

${displaystyle {begin{cases}mathbb {R} &y_{0}=0[4pt]left(-infty,x_{0}+{frac {1}{y_{0}}} right)&y_{0}>0[4pt]left(x_{0}+{frac {1}{y_{0}}},+infty right)&y_{0}<0end {موارد}}}$

این به وضوح نشان می دهد که حداکثر فاصله ممکن است به شرایط اولیه بستگی داشته باشد. دامنه y را می توان به عنوان موجود در نظر گرفتآر ${displaystyle mathbb {R} setminus (x_{0}+1/y_{0})،}$ اما این منجر به دامنه‌ای می‌شود که یک بازه نیست، به طوری که طرف مقابل شرط اولیه از شرایط اولیه جدا می‌شود و بنابراین به‌طور منحصربه‌فرد توسط آن تعیین نمی‌شود.

حداکثر دامنه نیست $mathbb {R}$ زیرا

${displaystyle lim _{xto x_{pm }}|y(x)|to infty ,}$

که با توجه به قضیه فوق یکی از دو حالت ممکن است.

کاهش مرتبه [ ویرایش ]

اگر بتوان ترتیب معادله را کاهش داد معمولا حل معادلات دیفرانسیل آسانتر است .

کاهش به یک سیستم مرتبه اول [ ویرایش ]

هر معادله دیفرانسیل صریح از مرتبه n ،

${displaystyle Fleft(x,y,y',y'', ldots , y^{(n-1)}right)=y^{(n)}}$

می توان با تعریف یک خانواده جدید از توابع مجهول به صورت سیستمی از n معادله دیفرانسیل مرتبه اول نوشت.

$y_{i}=y^{(i-1)}.!$

برای i = 1، 2، ...، n . سپس سیستم n بعدی معادلات دیفرانسیل جفت شده مرتبه اول است

${displaystyle {begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}y_{2}'&=&y_{3}&vdots &y_{n-1} '&=&y_{n}y_{n}'&=&F(x,y_{1},ldots,y_{n}).end{آرایه}}}$

در نماد برداری فشرده تر:

$mathbf {y} '=mathbf {F} (x,mathbf {y})$

جایی که

${displaystyle mathbf {y} =(y_{1},ldots,y_{n}),quad mathbf {F} (x,y_{1},ldots ,y_{n})=(y_ {2},ldots,y_{n},F(x,y_{1},ldots,y_{n})).}$

خلاصه راه حل های دقیق [ ویرایش ]

برخی معادلات دیفرانسیل راه حل هایی دارند که می توان آنها را به صورت دقیق و بسته نوشت. چندین کلاس مهم در اینجا برگزار می شود.

در جدول زیر، P ( x ) ، Q ( x ) ، P ( y ) ، Q ( y ) و M ( x ، y ) ، N ( x ، y ) هر توابع انتگرال پذیر x ، y هستند . b و c ثابت داده شده حقیقی هستند. C 1 , C 2 , ... ثابت دلخواه هستند ( به طور کلی پیچیده ). معادلات دیفرانسیل در اشکال معادل و جایگزین خود هستند که از طریق یکپارچه سازی به حل منتهی می شوند.

در راه حل های انتگرالی، λ و ε متغیرهای ساختگی انتگرال گیری هستند (آنالوگ های پیوسته شاخص ها در مجموع )، و نماد ∫ x F ( λ ) dλ فقط به معنای انتکرال F ( λ ) با توجه به λ ، سپس پس از انتکرال است. جایگزین λ = x ، بدون اضافه کردن ثابت (به صراحت بیان شده است).

معادلات قابل تفکیک [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه اول، قابل تفکیک در x و y (حالت عمومی، برای موارد خاص به زیر مراجعه کنید) [27]

${displaystyle {begin{aligned}P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y),{frac {dy}{dx}} &=0P_{1}(x)Q_{1}(y),dx+P_{2}(x)Q_{2}(y),dy&=0end{تراز شده}}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر P 2 Q 1 ). ${displaystyle int ^{x}{frac {P_{1}(lambda )}{P_{2}(lambda )}},dlambda +int ^{y}{frac {Q_ {2}(lambda )}{Q_{1}(lambda )}},dlambda =C}$ مرتبه اول، قابل تفکیک در x [25]

${displaystyle {begin{aligned}{frac {dy}{dx}}&=F(x)dy&=F(x),dxend{aligned}}}$

انتکرال مستقیم ${displaystyle y=int ^{x}F(lambda ),dlambda +C}$ مرتبه اول، مستقل، قابل تفکیک در y [25]

${displaystyle {begin{aligned}{frac {dy}{dx}}&=F(y)dy&=F(y),dxend{aligned}}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر F ). ${displaystyle x=int ^{y}{frac {dlambda }{F(lambda )}}+C}$ مرتبه اول، قابل تفکیک در x و y [25]

${displaystyle {begin{aligned}P(y){frac {dy}{dx}}+Q(x)&=0P(y),dy+Q(x),dx&=0 end{تراز شده}}}$

انتکرال در سراسر. ${displaystyle int ^{y}P(lambda ),dlambda +int ^{x}Q(lambda ),dlambda =C}$

معادلات مرتبه اول عمومی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه اول، همگن [25]

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=Fleft({frac {y}{x}}right)}$

y = ux را تنظیم کنید ، سپس با جداسازی متغیرهای u و x حل کنید . ${displaystyle ln(Cx)=int ^{y/x}{frac {dlambda }{F(lambda )-lambda }}}$ مرتبه اول، قابل تفکیک [27]

${displaystyle {begin{aligned}yM(xy)+xN(xy),{frac {dy}{dx}}&=0yM(xy),dx+xN(xy),dy& =0end{تراز شده}}}$

جداسازی متغیرها (تقسیم بر xy ).

${displaystyle ln(Cx)=int ^{xy}{frac {N(lambda ),dlambda }{lambda [N(lambda )-M(lambda )]}}}$

اگر N = M جواب xy = C است .

دیفرانسیل دقیق ، مرتبه اول [25]

${displaystyle {begin{aligned}M(x,y){frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0M(x,y),dy+N(x ,y),dx&=0end{تراز شده}}}$

جایی که ${displaystyle {frac {partial M}{partial y}}={frac {partial N}{partial x}}}$

انتکرال در سراسر. ${displaystyle {begin{aligned}F(x,y)&=int ^{x}M(lambda ,y),dlambda +int ^{y}Y(lambda ),d lambda &=int ^{y}N(x,lambda ),dlambda +int ^{x}X(lambda ),dlambda =Cend{تراز شده}}}$

جایی که

${displaystyle Y(y)=N(x,y)-{frac {partial }{partial y}}int ^{x}M(lambda ,y),dlambda }$ و

${displaystyle X(x)=M(x,y)-{frac {partial }{partial x}}int ^{y}N(x,lambda ),dlambda }$

دیفرانسیل غیر دقیق ، مرتبه اول [25]

${displaystyle {begin{aligned}M(x,y){frac {dy}{dx}}+N(x,y)&=0M(x,y),dy+N(x ,y),dx&=0end{تراز شده}}}$

جایی که ${displaystyle {frac {partial M}{partial y}}neq {frac {partial N}{partial x}}}$

عامل انتکرال μ ( x , y ) راضی کننده است

${displaystyle {frac {partial (mu M)}{partial y}}={frac {partial (mu N)}{partial x}}}$

اگر μ ( x , y ) را بتوان به روشی مناسب پیدا کرد، پس

ا ${displaystyle {begin{aligned}F(x,y)=&int ^{x}mu (lambda ,y)M(lambda ,y),dlambda +int ^{y} Y(lambda ),dlambda =&int ^{y}mu (x,lambda )N(x,lambda ),dlambda +int ^{x}X( lambda ),dlambda =Cend{تراز شده}}}$

جایی که

${displaystyle Y(y)=N(x,y)-{frac {partial }{partial y}}int ^{x}mu (lambda,y)M(lambda ,y) ,dlambda }$ و

${displaystyle X(x)=M(x,y)-{frac {partial }{partial x}}int ^{y}mu (x,lambda )N(x,lambda ) ,dlambda }$

معادلات مرتبه دوم عمومی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

مرتبه دوم، خودمختار [28]

${displaystyle {frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)}$

هر دو طرف معادله را در 2 dy / dx ضرب کنید ، جایگزین کنید2 ${displaystyle 2{frac {dy}{dx}}{frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={frac {d}{dx}}left({frac {dy}{dx}}right)^{2}}$ ، سپس دو بار انتکرال کنید. ${displaystyle x=pm int ^{y}{frac {dlambda }{sqrt {2int ^{lambda }F(varepsilon ),dvarepsilon +C_{1}}} }+C_{2}}$

معادلات خطی تا مرتبه n [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیلروش حلراه حل کلی

ضرایب تابعی مرتبه اول، خطی، ناهمگن [25]

${displaystyle {frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)}$

عامل یکپارچه سازی:. ${displaystyle e^{int ^{x}P(lambda ),dlambda }.}$ فرمول زره:

${displaystyle y=e^{-int ^{x}P(lambda ),dlambda }left[int ^{x}e^{int ^{lambda }P(varepsilon ) ,dvarepsilon }Q(lambda ),dlambda +Cright]}$

ضرایب تابع مرتبه دوم، خطی، ناهمگن

${displaystyle {frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2p(x){frac {dy}{dx}}+left(p(x)^{2}+ p'(x)right)y=q(x)}$

عامل یکپارچه سازی: $e^{int ^{x}P(lambda ),dlambda }$ ${displaystyle y=e^{-int ^{x}P(lambda ),dlambda }left[int ^{x}left(int ^{xi }e^{int ^{lambda }P(varepsilon ),dvarepsilon }Q(lambda ),dlambda right)dxi +C_{1}x+C_{2}right]}$ ضرایب مرتبه دوم، خطی، ناهمگن، ثابت [29]

${displaystyle {frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+b{frac {dy}{dx}}+cy=r(x)}$

تابع مکمل y c : y c = e α x را در نظر بگیرید ، چند جمله ای را در α جایگزین کرده و حل کنید تا توابع مستقل خطی را پیدا کنید.ه $e^{alpha _{j}x}$ .

انتگرال خاص y p : به طور کلی روش تغییر پارامترها ، اگرچه برای بازرسی r ( x ) بسیار ساده ممکن است کار کند. [25]

${displaystyle y=y_{c}+y_{p}}$

اگر b 2 > 4 c , پس

${displaystyle y_{c}=C_{1}e^{-{frac {x}{2}},left(b+{sqrt {b^{2}-4c}}right)}+ C_{2}e^{-{frac {x}{2}},left(b-{sqrt {b^{2}-4c}}right)}}$

اگر b 2 = 4 c ، پس

${displaystyle y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{frac {bx}{2}}}}$

اگر b 2 4 c ، پس

${displaystyle y_{c}=e^{-{frac {bx}{2}}}left[C_{1}sin left(x,{frac {sqrt {4c-b^{ 2}}}{2}}right)+C_{2}cos left(x,{frac {sqrt {4c-b^{2}}}{2}}right)right] }$

ضرایب مرتبه n ، خطی، ناهمگن، ثابت [29]

${displaystyle sum _{j=0}^{n}b_{j}{frac {d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)}$

انتگرال خاص y p : به طور کلی روش تغییر پارامترها ، اگرچه برای بازرسی r ( x ) بسیار ساده ممکن است کار کند. [25]

${displaystyle y=y_{c}+y_{p}}$

از آنجایی که α j حل های چند جمله ای درجه n هستند : ${textstyle prod _{j=1}^{n}(alpha -alpha _{j})=0}$ ، سپس: برای α j همه متفاوت است،

${displaystyle y_{c}=sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{alpha _{j}x}}$ برای هر ریشه α j تکرار kj بار ،

${displaystyle y_{c}=sum _{j=1}^{n}left(sum _{ell =1}^{k_{j}}C_{j,ell }x^{ ell -1}right)e^{alpha _{j}x}}$ برای برخی از α j مختلط، سپس با تنظیم α = χj + iγ j ، و با استفاده از فرمول اویلر ، اجازه می دهد برخی از اصطلاحات در نتایج قبلی به شکل نوشته شوند .

⁡

${displaystyle C_{j}e^{alpha _{j}x}=C_{j}e^{chi _{j}x}cos(gamma _{j}x+varphi _{j} )}$ که در آن ϕ j یک ثابت دلخواه (تغییر فاز) است.

روش حدس زدن [ ویرایش ]

در این بخش هیچ منبعی ذکر نشده است . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این بخش کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند . ( ژانويه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف اين پيام الگو آشنا شويد )

هنگامی که همه روش‌های دیگر برای حل یک ODE با شکست مواجه می‌شوند، یا در مواردی که ما شهودی در مورد اینکه راه‌حل یک DE ممکن است شبیه باشد، داریم، گاهی اوقات می‌توان یک DE را به سادگی با حدس زدن راه‌حل و تأیید صحت آن حل کرد. برای استفاده از این روش، ما به سادگی یک راه حل برای معادله دیفرانسیل را حدس می زنیم، و سپس راه حل را به معادله دیفرانسیل متصل می کنیم تا اگر معادله را برآورده می کند، اعتبار سنجی کنیم. اگر اینطور شد، راه حل خاصی برای DE داریم، در غیر این صورت دوباره از نو شروع می کنیم و حدس دیگری را امتحان می کنیم. برای مثال می‌توانیم حدس بزنیم که راه‌حل یک DE به شکل زیر است:=آهتی ${displaystyle y=Ae^{alpha t}}$ زیرا این یک راه حل بسیار رایج است که از نظر فیزیکی به صورت سینوسی رفتار می کند.

در مورد یک ODE مرتبه اول که ناهمگن است، ابتدا باید یک راه حل DE برای بخش همگن DE پیدا کنیم، که در غیر این صورت معادله مشخصه نامیده می شود، و سپس با حدس زدن، راه حلی برای کل معادله ناهمگن پیدا کنیم. . در نهایت، ما هر دوی این راه‌حل‌ها را با هم اضافه می‌کنیم تا جواب کل به ODE به دست آید، یعنی:

راه حل کلی=محلول همگن+راه حل خاص ${displaystyle {text{تحلیل کل}}={text{راه حل همگن}}+{text{راه حل خاص}}}$

نرم افزار برای حل ODE [ ویرایش ]

ماکسیما ، یک سیستم جبر کامپیوتری منبع باز .
COPASI ، یک بسته نرم افزاری رایگان ( Artistic License 2.0 ) برای انتکرال و تجزیه و تحلیل ODE ها.
MATLAB ، یک برنامه محاسباتی فنی (MATrix LABoratory)
GNU Octave ، یک زبان سطح بالا، که عمدتاً برای محاسبات عددی در نظر گرفته شده است.
Scilab ، یک برنامه منبع باز برای محاسبات عددی.
Maple ، یک برنامه اختصاصی برای محاسبات نمادین.
Mathematica ، یک برنامه اختصاصی است که در درجه اول برای محاسبات نمادین در نظر گرفته شده است.
SymPy ، یک بسته پایتون است که می تواند ODE ها را به صورت نمادین حل کند
جولیا (زبان برنامه نویسی) ، یک زبان سطح بالا که در درجه اول برای محاسبات عددی در نظر گرفته شده است.
SageMath ، یک برنامه متن باز است که از نحوی شبیه پایتون با طیف گسترده ای از قابلیت ها که چندین شاخه از ریاضیات را در بر می گیرد، استفاده می کند.
SciPy ، یک بسته پایتون که شامل یک ماژول انتکرال ODE است.
Chebfun ، یک بسته منبع باز، نوشته شده در MATLAB ، برای محاسبه توابع با دقت 15 رقمی.
گنو R ، یک محیط محاسباتی منبع باز که در درجه اول برای آمار در نظر گرفته شده است، که شامل بسته هایی برای حل ODE است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مشکل ارزش مرزی
نمونه هایی از معادلات دیفرانسیل
تبدیل لاپلاس برای معادلات دیفرانسیل اعمال می شود
فهرست مباحث سیستم های دینامیکی و معادلات دیفرانسیل
معادله دیفرانسیل ماتریسی
روش ضرایب نامشخص
رابطه عود

یادداشت ها [ ویرایش ]

↑ Dennis G. Zill (15 مارس 2012). اولین دوره معادلات دیفرانسیل با کاربردهای مدلسازی . Cengage Learning. شابک 978-1-285-40110-2. بایگانی شده از نسخه اصلی در 17 ژانویه 2020 . بازیابی شده در 11 جولای 2019 .
↑ "منشأ اصطلاح "معادلات دیفرانسیل معمولی" چیست؟" . hsm.stackexchange.com . صرافی پشته . بازیابی شده در 2016-07-28 .
↑ Mathematics for Chemists, DM Hirst, Macmillan Press , 1976, (بدون ISBN) SBN: 333-18172-7
↑ کریزیگ (1972 ، ص 64)
^ سیمونز (1972 ، صفحات 1، 2)
↑ هالیدی و رسنیک (1977 ، ص 78)
^ تیپلر (1991 ، صفحات 78-83)
^ a bپرش به بالا: هارپر (1976 ، ص 127)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 2)
^ سیمونز (1972 ، ص 3)
^ a bپرش به بالا: Kreyszig (1972 ، ص 24)
^ سیمونز (1972 ، ص 47)
↑ هارپر (1976 ، ص 128)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 12)
↑ Ascher (1998 ، ص 12)
^ آخیم ایلچمن؛ تیمو ریس (2014). بررسی در معادلات دیفرانسیل جبری II . اسپرینگر. صص 104-105. شابک 978-3-319-11050-9.
↑ Ascher (1998 ، ص 5)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 78)
↑ کریزیگ (1972 ، ص 4)
↑ واردیا تی هایمو (1985). "معادلات دیفرانسیل زمان محدود" . 1985 بیست و چهارمین کنفرانس IEEE در مورد تصمیم گیری و کنترل . صفحات 1729-1733. doi : 10.1109/CDC.1985.268832 . S2CID 45426376 .
↑ کرل ، 1866، 1868
^ لارنس (1999 ، ص 9)
^ لوگان، جی (2013). ریاضیات کاربردی (ویرایش چهارم).
↑ Ascher (1998 ، ص 13)
^ a b c d e f g h i jپرش به بالا: معادلات دیفرانسیل ابتدایی و مسائل ارزش مرزی (ویرایش چهارم)، WE Boyce، RC Diprima، Wiley International، John Wiley & Sons، 1986، ISBN 0-471-83824-1
^ بوسکاین؛ چیتور 2011، ص. 21
^ a bپرش به بالا: Mathematical Handbook of Formulas and Tables (ویرایش سوم)، S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
↑ تحلیل ابتدایی بیشتر، R. Porter، G.Bell & Sons (لندن)، 1978، ISBN 0-7135-1594-5
^ a bپرش به بالا: روش های ریاضی برای فیزیک و مهندسی، KF Riley، MP Hobson، SJ Bence، انتشارات دانشگاه کمبریج، 2010، ISC_2N 978-0-521-86153-3

منابع [ ویرایش ]

هالیدی، دیوید ؛ رسنیک، رابرت (1977)، فیزیک (ویرایش سوم)، نیویورک: وایلی ، شابک 0-471-71716-9
هارپر، چارلی (1976)، مقدمه ای بر فیزیک ریاضی ، نیوجرسی: پرنتیس هال ، شابک 0-13-487538-9
کریزیگ، اروین (1972)، ریاضیات مهندسی پیشرفته (ویرایش سوم)، نیویورک: وایلی ، ISBN 0-471-50728-8.
Polyanin, AD and VF Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (ویرایش دوم)، چاپمن و هال/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
سیمونز، جورج اف (1972)، معادلات دیفرانسیل با کاربردها و یادداشت های تاریخی ، نیویورک: مک گراو-هیل ، LCCN 75173716
تیپلر، پل ای. (1991)، فیزیک برای دانشمندان و مهندسان: نسخه توسعه یافته (ویرایش سوم)، نیویورک: ناشران ورث ، شابک 0-87901-432-6
بوسکاین، اوگو؛ Chitour، Yacine (2011)، Introduction à l'automatique (PDF) (به زبان فرانسوی)
درزنر، لارنس (1999)، کاربردهای نظریه لی معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی ، بریستول و فیلادلفیا: موسسه انتشارات فیزیک ، شابک 978-0750305303
اشر، اوری؛ پتزولد، لیندا (1998)، روشهای کامپیوتری برای معادلات دیفرانسیل معمولی و معادلات دیفرانسیل-جبری ، SIAM، ISBN 978-1-61197-139-2

کتابشناسی [ ویرایش ]

کدینگتون، ارل ا. لوینسون، نورمن (1955). نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی . نیویورک: مک گراو هیل .
هارتمن، فیلیپ (2002) [1964]، معادلات دیفرانسیل معمولی ، کلاسیک در ریاضیات کاربردی، جلد. 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics , doi : 10.1137/1.9780898719222 , ISBN 978-0-89871-510-1، MR 1929104
دبلیو جانسون، رساله ای بر معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی ، جان وایلی و پسران، 1913، در مجموعه ریاضیات تاریخی دانشگاه میشیگان
اینس، ادوارد ال. (1944) [1926]، معادلات دیفرانسیل معمولی ، انتشارات دوور، نیویورک، شابک 978-0-486-60349-0، MR 0010757
ویتولد هورویچ ، سخنرانی‌هایی درباره معادلات دیفرانسیل معمولی ، انتشارات دوور، شابک 0-486-49510-8
ابراگیموف، نایل اچ. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 . Providence: CRC-Press. شابک 0-8493-4488-3..
تسچل، جرالد (2012). معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم های دینامیکی . Providence : انجمن ریاضی آمریکا . شابک 978-0-8218-8328-0.
AD Polyanin , VF Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations , Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X
D. Zwillinger، Handbook of Differential Equations (ویرایش سوم) ، انتشارات دانشگاهی، بوستون، 1997.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

Wikibooks کتابی با موضوع: حساب دیفرانسیل و انتگرال/معادلات دیفرانسیل معمولی دارد

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به معادلات دیفرانسیل معمولی موجود است .

"معادله دیفرانسیل، معمولی" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS ، 2001 [1994]
EqWorld: دنیای معادلات ریاضی ، حاوی لیستی از معادلات دیفرانسیل معمولی با حل آنها.
یادداشت های آنلاین / معادلات دیفرانسیل توسط پل داوکینز، دانشگاه لامار .
معادلات دیفرانسیل ، SOS ریاضیات.
آغازگر حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل از موسسه روش‌های عددی جامع، دانشگاه فلوریدا جنوبی.
یادداشت های سخنرانی معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم های دینامیکی توسط جرالد تسل .
یادداشت‌هایی درباره Diffy Qs: Differential Equations for Engineers کتاب درسی مقدماتی در مورد معادلات دیفرانسیل توسط Jiri Lebl از UIUC .
مدل سازی با ODE ها با استفاده از Scilab آموزش نحوه مدل سازی یک سیستم فیزیکی که توسط ODE با استفاده از زبان برنامه نویسی استاندارد Scilab توسط تیم Openeering توضیح داده شده است.
حل یک معادله دیفرانسیل معمولی در Wolfram|Alpha

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 144 تاريخ : چهارشنبه 27 دی 1402 ساعت: 20:15

معادله دیفرانسیل معمولی

آخرین مطالب

امکانات وب