منحنی لیساژوس

​

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با اسپیروگراف ها که عموماً توسط یک مرز دایره ای محصور شده اند اشتباه گرفت، در حالی که منحنی های لیساژوس توسط مرزهای مستطیلی محصور شده اند.

شکل لیساژوس ، ساخته شده با رها کردن ماسه از ظرفی در انتهای آونگ بلکبرن

منحنی لیساژوس  / ˈ l ɪ s ə ʒ uː / ، همچنین به عنوان شکل لیساژوس  یا منحنی بودیچ / ˈ b aʊ d ɪ tʃ / شناخته می شود ، نمودار یک سیستم معادلات پارامتری است .

که حرکت هارمونیک پیچیده را توصیف می کند. این خانواده از منحنی ها توسط Nathaniel بودیچ در سال 1815 و بعداً در سال 1857 توسط Jules Antoine لیساژوس  (که برای او نامگذاری شده است) با جزئیات بیشتر مورد بررسی قرار گرفت.

ظاهر شکل به نسبت بسیار حساس استآ/ب. برای نسبت 1، شکل یک بیضی است، با موارد خاص شامل دایره ها ( A = B ، δ =π/2 رادیان ) و خطوط ( δ = 0 ). یکی دیگر از شکل های ساده لیساجو سهمی است (ب/آ= 2 ، δ =π/4). نسبت‌های دیگر منحنی‌های پیچیده‌تری تولید می‌کنند که تنها در صورتی بسته می‌شوندآ/بمنطقی است _ شکل بصری این منحنی ها اغلب حکایت از یک گره سه بعدی دارد ، و در واقع بسیاری از انواع گره ها، از جمله گره هایی که به عنوان گره های لیساجو شناخته می شوند ، به عنوان فیگورهای لیساژوس به هواپیما برمی خیزند.

بصری، نسبتآ/بتعداد "لوب" های شکل را تعیین می کند. به عنوان مثال، نسبتی از3/1یا1/3شکلی با سه لوب اصلی ایجاد می کند (تصویر را ببینید). به طور مشابه، نسبتی از5/4شکلی با پنج لوب افقی و چهار لوب عمودی ایجاد می کند. نسبت‌های منطقی ارقام بسته (متصل) یا «هنوز» را تولید می‌کنند، در حالی که نسبت‌های غیرمنطقی ارقامی را تولید می‌کنند که به نظر می‌رسد در حال چرخش هستند. نسبتآ/بنسبت نسبی عرض به ارتفاع منحنی را تعیین می کند. به عنوان مثال، نسبتی از2/1رقمی را تولید می کند که دو برابر عرض آن است. در نهایت، مقدار δ زاویه "چرخش" ظاهری شکل را تعیین می کند، به گونه ای که گویی در واقع یک منحنی سه بعدی است. به عنوان مثال، δ = 0 اجزای x و y را تولید می کند که دقیقاً در فاز هستند، بنابراین شکل حاصل به صورت یک شکل سه بعدی ظاهری که از مستقیم روی (0 درجه) مشاهده می شود ظاهر می شود. در مقابل، هر δ غیر صفر شکلی تولید می کند که به نظر می رسد چرخش چپ به راست یا بالا به پایین (بسته به نسبتآ/ب).

شکل لیساژوس روی یک اسیلوسکوپ که به ترتیب رابطه 1:3 بین فرکانس ورودی های سینوسی عمودی و افقی را نشان می دهد. این شکل خاص لیساژوس در لوگوی شرکت پخش استرالیا اقتباس شد

دایره یک منحنی ساده لیساژوس است

اشکال لیساژوس که در آنها a = 1 ، b = N ( N یک عدد طبیعی است ) و

چند جمله ای های چبیشف از نوع اول درجه N هستند. این ویژگی برای تولید مجموعه‌ای از نقاط به نام نقاط پادوآ مورد سوء استفاده قرار می‌گیرد که در آن یک تابع می‌تواند نمونه‌برداری شود تا درون یابی دو متغیره یا ربع تابع در دامنه [-1,1] × [-1,1 محاسبه شود. ] .

اگر منحنی لیساژوس که هر یک از آنها را ایجاد می کند، با استفاده از توابع کسینوس به جای توابع سینوسی بیان شود، ارتباط برخی از منحنی های لیساژوس با چند جمله ای های چبیشف واضح تر است.

فهرست

انیمیشنی که انطباق منحنی را به عنوان نسبت نشان می دهدآ/باز 0 به 1 افزایش می یابد

انیمیشن انطباق منحنی را با افزایش مداوم نشان می دهدآ/بکسری از 0 تا 1 در مراحل 0.01 ( δ = 0 ).

در زیر نمونه هایی از ارقام لیساژوس با عدد طبیعی فرد a ، عدد طبیعی زوج b و | a − b | = 1 .

• 

  δ =π/2, a = 1 , b = 2 (1:2)

•  

• 

  δ =π/2, a = 3 , b = 2 (3:2)

•  

• 

  δ =π/2, a = 3 , b = 4 (3:4)

•  

• 

  δ =π/2, a = 5 , b = 4 (5:4)

•  

• 

  ارقام لیساژوس : روابط فرکانس مختلف و اختلاف فاز

قبل از تجهیزات الکترونیکی مدرن، منحنی‌های لیساژوس را می‌توان به صورت مکانیکی با استفاده از هارمونوگرافی تولید کرد.

کاربرد عملی [ ویرایش ]

منحنی های لیساژوس را می توان با استفاده از یک اسیلوسکوپ نیز ایجاد کرد (همانطور که نشان داده شده است). می توان از مدار اختاپوس برای نشان دادن تصاویر شکل موج در اسیلوسکوپ استفاده کرد. دو ورودی سینوسی تغییر فاز به اسیلوسکوپ در حالت XY اعمال می شود و رابطه فاز بین سیگنال ها به صورت شکل لیساژوس ارائه می شود.

در دنیای حرفه‌ای صوتی، از این روش برای تحلیل زمان واقعی رابطه فاز بین کانال‌های چپ و راست سیگنال صوتی استریو استفاده می‌شود. در کنسول های میکس صوتی بزرگتر و پیچیده تر، ممکن است یک اسیلوسکوپ برای این منظور تعبیه شود.

در اسیلوسکوپ، x CH1 و y CH2 است، A دامنه CH1 و B دامنه CH2، a فرکانس CH1 و b فرکانس CH2 است، بنابراینآ/بنسبت فرکانس های دو کانال است و δ تغییر فاز CH1 است.

یک کاربرد کاملاً مکانیکی منحنی لیساژوس با a = 1 ، b = 2 در مکانیزم محرک لامپ‌های پرتو نوسانی نوع Mars Light است که در راه‌آهن‌ها در اواسط دهه 1900 رایج بود. پرتو در برخی از نسخه ها یک الگوی مورب شکل 8 را در کنار خود نشان می دهد.

درخواست برای مورد a = b [ ویرایش ]

در این شکل هر دو فرکانس ورودی یکسان هستند، اما اختلاف فاز بین آنها شکل یک بیضی را ایجاد می کند .

بالا: سیگنال خروجی به عنوان تابعی از زمان.
وسط: سیگنال ورودی به عنوان تابعی از زمان.
پایین: هنگامی که خروجی به عنوان تابعی از ورودی رسم می شود، منحنی لیساژوس به دست می آید.
در این مثال خاص، به دلیل اینکه خروجی 90 درجه از ورودی خارج از فاز است، منحنی لیساژوس یک دایره است و در خلاف جهت عقربه های ساعت می چرخد.

وقتی ورودی یک سیستم LTI سینوسی است، خروجی با همان فرکانس سینوسی است، اما ممکن است دامنه متفاوت و مقداری تغییر فاز داشته باشد. با استفاده از یک اسیلوسکوپ که می تواند یک سیگنال را در مقابل سیگنال دیگر ترسیم کند (برخلاف یک سیگنال در برابر زمان) برای رسم خروجی یک سیستم LTI در برابر ورودی سیستم LTI، یک بیضی ایجاد می کند که یک شکل لیساژوس برای حالت خاص a = b است. . نسبت ابعاد بیضی به دست آمده تابعی از تغییر فاز بین ورودی و خروجی است، با نسبت تصویر 1 (دایره کامل) مربوط به تغییر فاز 90± درجه و نسبت تصویر ∞ (یک خط) متناظر است. به یک تغییر فاز 0 درجه یا 180 درجه. [استناد مورد نیاز ]

شکل زیر چگونگی تغییر شکل لیساژوس در تغییر فازهای مختلف را خلاصه می کند. جابه‌جایی‌های فاز همگی منفی هستند، بنابراین معناشناسی تاخیر را می‌توان با یک سیستم LTI علی استفاده کرد (توجه داشته باشید که -270 درجه معادل 90 درجه است). فلش ها جهت چرخش شکل لیساژوس را نشان می دهند. [ نیازمند منبع ]

یک تغییر فاز خالص بر خارج از مرکز بیضی لیساجو تأثیر می گذارد. تجزیه و تحلیل بیضی اجازه می دهد تا تغییر فاز از یک سیستم LTI اندازه گیری شود.

منحنی لیساژوس در آزمایش‌های تجربی برای تعیین اینکه آیا یک دستگاه ممکن است به درستی به عنوان ممریستور طبقه‌بندی شود، استفاده می‌شود . [ نیازمند منبع ] همچنین برای مقایسه دو سیگنال الکتریکی مختلف استفاده می شود: یک سیگنال مرجع شناخته شده و یک سیگنال برای آزمایش. [1] [2]

در تصاویر متحرک [ ویرایش ]

انیمیشن لیساژوس به سبک علمی تخیلی

• در دهه‌های 1960 و 1970، فیگورهای لیساژوس بر روی اسیلوسکوپ‌هایی که برای شبیه‌سازی تجهیزات پیشرفته در نمایش‌های تلویزیونی علمی-تخیلی و فیلم‌ها طراحی شده بودند، نمایش داده می‌شد. [3]

آرم شرکت [ ویرایش ]

فیگورهای لیساژوس گاهی اوقات در طراحی گرافیکی به عنوان لوگو استفاده می شوند. مثالها عبارتند از:

در هنر مدرن [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: ریاضیات و هنر

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

​

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve