انتگرال یکنواخت

آخرین مطالب

امکانات وب

انتگرال یکنواخت

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات، انتگرال یکنواخت یک مفهوم مهم در آنالیز حقیقی ، آنالیز تابعی و تئوری اندازه گیری است و نقشی حیاتی در نظریه مارتینگال ایفا می کند .

تعریف نظری اندازه گیری [ ویرایش ]

انتگرال یکنواخت، بسط مفهوم خانواده ای از توابع است که در آنها تسلط دارند ${displaystyle L_{1}}$ که در همگرایی غالب مرکزی است . چندین کتاب درسی در مورد آنالیز حقیقی و نظریه اندازه گیری از تعریف زیر استفاده می کنند: [1] [2]

تعریف الف: فرض کنید $(X,{mathfrak {M}},mu )$ فضای اندازه پذیرمثبت باشد . یک مجموعه $Phi زیر مجموعه L^{1}(mu)$ یکنواخت انتگرال پذیر نامیده می شود اگر ${displaystyle sup _{fin Phi }|f|_{L_{1}(mu )}<infty }$ ، و به هر کدام $varepsilon>0$ مطابقت دارد $delta>0$ به طوری که

${displaystyle int _{E}|f|,dmu <varepsilon }$

هر زمان که $fin Phi$ و. $mu (E)<delta .$

تعریف A برای فضاهای اندازه گیری بی نهایت محدود کننده است. تعریف کلی تر [3] از انتگرال یکنواخت که در فضاهای اندازه گیری کلی به خوبی کار می کند توسط GA Hunt معرفی شد .

تعریف H: فرض کنید ${displaystyle (X,{mathfrak {M}},mu )}$ فضای اندازه گیری مثبت باشد. یک مجموعه ${displaystyle Phi subset L^{1}(mu )}$ یکنواخت انتگرال پذیر اگر و فقط اگر نامیده می شود

${displaystyle inf _{gin L_{+}^{1}(mu )}sup _{fin Phi }int _{{|f|>g}}|f| ,dmu =0}$

جایی که ${displaystyle L_{+}^{1}(mu )={gin L^{1}(mu):ggeq 0}}$ .

برای فضاهای اندازه گیری محدود، نتیجه زیر [4] از تعریف H به دست می آید:

قضیه 1: اگر ${displaystyle (X,{mathfrak {M}},mu )}$ یک فضای اندازه گیری محدود (مثبت) و سپس یک مجموعه است ${displaystyle Phi subset L^{1}(mu )}$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است [ توضیح لازم است ] اگر و فقط اگر

${displaystyle inf _{ageq 0}sup _{fin Phi }int _{{|f|>a}}|f|,dmu =0}$

بسیاری از کتاب های درسی احتمال، قضیه 1 را به عنوان تعریف انتگرال یکنواخت در فضاهای احتمال ارائه می کنند. زمانی که فضا ${displaystyle (X,{mathfrak {M}},mu )}$ است $سیگما$ - محدود، تعریف H معادل زیر را به دست می دهد:

قضیه 2: فرض کنید ${displaystyle (X,{mathfrak {M}},mu )}$ یک باشد $سیگما$ فضای اندازه گیری محدود، و ${displaystyle hin L^{1}(mu )}$ طوری باشد که $h>0$ تقریباً مطمئنا یک مجموعه ${displaystyle Phi subset L^{1}(mu )}$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است [ توضیح لازم است ] اگر و فقط اگر ${displaystyle sup _{fin Phi }|f|_{L_{1}(mu )}<infty }$ ، و برای هر $varepsilon>0$ ، خروجی وجود دارد $delta>0$ به طوری که

${displaystyle sup _{fin Phi }int _{A}|f|,dmu <varepsilon }$

${displaystyle int _{A}h,dmu <delta }$ .

به ویژه، هم ارزی تعاریف A و H برای معیارهای محدود بلافاصله از قضیه 2 به دست می آید. برای این مورد، عبارت در تعریف A با گرفتن به دست می آید ${displaystyle hequiv 1}$ در قضیه 2.

تعریف احتمال [ ویرایش ]

در تئوری احتمال، تعریف A یا عبارت قضیه 1 اغلب به عنوان تعاریف انتگرال یکنواخت با استفاده از انتظار نمادگذاری متغیرهای تصادفی ارائه می شود.، [5] [6] [7] یعنی،

1. یک کلاس ${mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی به طور یکنواخت انتگرال پذیر نامیده می شود اگر:

محدود وجود دارد $م$ به طوری که برای هر $ایکس$ که در ${mathcal {C}}$ ، ${displaystyle operatorname {E} (|X|)leq M}$ و
برای هر $varepsilon > 0$ وجود دارد $delta >0$ به طوری که برای هر قابل اندازه گیری $آ$ به طوری که $P(A)leq delta$ و هر $ایکس$ که در ${mathcal {C}}$ ، ${displaystyle operatorname {E} (|X|I_{A})leq varepsilon }$ .

یا به طور متناوب

2. یک کلاس ${mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی به صورت یکنواخت انتگرال پذیر (UI) برای هر نامیده می شود $varepsilon > 0$ وجود دارد $Kin [0،infty)$ به طوری که ${displaystyle operatorname {E} (|X|I_{|X|geq K})leq varepsilon {text{ برای همه }}Xin {mathcal {C}}}$ ، جایی که $I_{{|X|geq K}}$ تابع نشانگر است اگر . $I_{{|X|geq K}}={begin{cases}1&{text{if }}|X|geq K,�&{text{if }}|X|<K. پایان{موارد}}$ .

سفتی و انتگرال یکنواخت [ ویرایش ]

یکی از پیامدهای انتگرال یکنواخت یک کلاس ${mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی آن خانواده قوانین یا توزیع است ${displaystyle {Pcirc |X|^{-1}(cdot):Xin {mathcal {C}}}}$ تنگ است . یعنی برای هر کدام $delta >0$ ، وجود دارد $a>0$ به طوری که

${displaystyle P(|X|>a)leq delta }$ برای همه ${displaystyle Xin {mathcal {C}}}$ . [8]

با این حال، این بدان معنا نیست که خانواده ${displaystyle {mathcal {V}}_{mathcal {C}}:={Big {}mu _{X}:Amapsto int _{A}|X|,dP, ,Xin {mathcal {C}}{Big }}}$ تنگ است (در هر صورت، تنگی نیاز به توپولوژی دارد $امگا$ تا تعریف شود.)

پیوسگی مطلق یکنواخت [ ویرایش ]

مفهوم دیگری از یکنواختی وجود دارد که کمی متفاوت از انتگرال یکنواخت است که در نظریه احتمالات و اندازه گیری نیز کاربردهای زیادی دارد و برای داشتن انتگرال محدود به متغیرهای تصادفی نیاز ندارد [9]

تعریف: فرض کنید( $(Omega,{mathcal {F}},P)$ یک فضای احتمال است. یک کلاس ${mathcal {C}}$ متغیرهای تصادفی به طور یکنواخت کاملاً پیوسته نسبت به $پ$ اگر برای هر کدام $varepsilon > 0$ ، وجود دارد $delta >0$ به طوری که ${displaystyle E[|X|I_{A}]<varepsilon }$ هر زمان که ${displaystyle P(A)<delta }$ .

اگر اندازه گیری محدود باشد و اتم نداشته باشد، معادل انتگرال یکنواخت است.

اصطلاح «پیوستگی مطلق یکنواخت» استاندارد نیست، [ نیازمند منبع ] اما توسط برخی نویسندگان استفاده می شود. [10] [11]

نتایج مرتبط [ ویرایش ]

نتایج زیر برای تعریف احتمالی کاربرد دارد. [12]

تعریف 1 را می توان با در نظر گرفتن محدودیت ها بازنویسی کرد ${displaystyle lim _{Kto infty }sup _{Xin {mathcal {C}}}operatorname {E} (|X|,I_{|X|geq K})= 0.}$
یک دنباله غیر UI. فرض کنید $Omega =[0,1]زیر مجموعه {mathbb {R}}$ ، و تعریف کنید
،در غیر این صورت.
${displaystyle X_{n}(omega )={begin{cases}n,&omega in (0,1/n),�,&{text{در غیر این صورت.}}end{موارد }}}$ به وضوح $X_{n}in L^{1}$ ، و در واقع ، ${displaystyle operatorname {E} (|X_{n}|)=1 ,}$ برای همه n . با این حال، ${displaystyle operatorname {E} (|X_{n}|I_{{|X_{n}|geq K}})=1 {text{ برای همه }}ngeq K,}$ و در مقایسه با تعریف 1، مشاهده می شود که پیوستگی به طور یکنواخت انتگرال پذیر نیست.

پیوستگیغیر UI از RV ها. مساحت زیر نوار همیشه برابر با 1 است، $X_{n} به 0$ نقطه نظر.

با استفاده از تعریف 2 در مثال بالا، می توان دریافت که بند اول به این صورت برآورده شده است.1 $L^{1}$ هنجار همه $X_{n}$ هستند یعنی محدود شده اند. اما بند دوم آنطور که گفته شد برقرار نیست $دلتا$ مثبت، یک فاصله وجود دارد $(0,1/n)$ با اندازه کمتر از $دلتا$ و $E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1$ برای همه $mgeq n$ .
اگر $ایکس$ یک متغیر تصادفی UI است ، با تقسیم ${displaystyle operatorname {E} (|X|)=operatorname {E} (|X|I_{{|X|geq K}})+operatorname {E} (|X|I_{ {|X|<K}})}$ و با محدود کردن هر یک از این دو، می توان دید که یک متغیر تصادفی یکنواخت انتگرال پذیر همیشه در محدود می شود1 $L^{1}$ .
اگر دنباله ای از متغیرهای تصادفی باشد $X_{n}$ تحت سلطه یک انتگرال پذیر، غیر منفی است $Y$ : یعنی برای همه ω و n ، ${displaystyle |X_{n}(omega )|leq Y(omega), Y(omega )geq 0, operatorname {E} (Y)<infty ,}$ سپس کلاس ${mathcal {C}}$ از متغیرهای تصادفی ${X_{n}}$ به طور یکنواخت انتگرال پذیر است.
کلاسی از متغیرهای تصادفی محدود شده در $L^{p}$ ( $p>1$ ) به طور یکنواخت انتگرال پذیر است.

قضایای مربوط [ ویرایش ]

در ادامه از چارچوب احتمالی استفاده می کنیم، اما صرف نظر از متناهی اندازه گیری، با اضافه کردن شرط کرانه در زیر مجموعه انتخاب شده1() ${displaystyle L^{1}(mu )}$ .

قضیه دانفورد - پتیس [13] [14]یک کلاس [ توضیح لازم ] از متغیرهای تصادفی $X_{n}زیر مجموعه L^{1}(mu)$ اگر و تنها در صورتی که برای توپولوژی ضعیف نسبتا فشرده باشد، به طور یکنواخت انتگرال پذیر است $sigma (L^{1},L^{infty })$ . [ توضیحات لازم است ] [ نیازمند منبع ]
قضیه د لا واله پوسین [15] [16]خانواده ${X_{{alpha }}}_{{alpha in mathrm{A} }}subset L^{1}(mu )$ اگر و تنها در صورتی که تابع محدب فزاینده غیر منفی وجود داشته باشد، به طور یکنواخت انتگرال پذیر است $G(t)$ به طوری که ${displaystyle lim _{tto infty }{frac {G(t)}{t}}=infty {text{ and }}sup _{alpha }operatorname {E} (G (|X_{alpha }|))<infty .}$

ارتباط با همگرایی متغیرهای تصادفی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: همگرایی متغیرهای تصادفی

یک ${X_{n}}$ همگرا می شود $ایکس$ در $L_{1}$ هنجار اگر و فقط اگر از نظر اندازه به $ایکس$ همگرا شودو به طور یکنواخت انتگرال پذیر است. از نظر احتمال، دنباله ای از متغیرهای تصادفی که در احتمال همگرا می شوند نیز در میانگین همگرا می شوند اگر و تنها در صورتی که به طور یکنواخت انتگرال پذیر باشند. [17] این یک تعمیم از قضیه همگرایی غالب لبگ است ، به قضیه همگرایی ویتالی مراجعه کنید .

https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_integrability

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 50 تاريخ : شنبه 6 آبان 1402 ساعت: 14:12

انتگرال یکنواخت

آخرین مطالب

امکانات وب