میدان های الکترومغناطیس از نقطه نظر ارزش مرزی

• 5.0 مقدمه
• 5.1 راه حل های خاص و همگن معادلات پواسون و لاپلاس
• 5.2 منحصر به فرد بودن راه حل های معادله پواسون
• 5.3 شرایط تداوم
• 5.4 راه حل های معادله لاپلاس در مختصات دکارتی
• 5.5 گسترش مدال برای ارضای شرایط مرزی
• 5.6 راه حل های معادله پواسون با شرایط مرزی
• 5.7 راه حل های معادله لاپلاس در مختصات قطبی
• 5.8 مثال در مختصات قطبی
• 5.9 سه راه حل برای معادله لاپلاس در مختصات کروی
• 5.10 راه حل های سه بعدی معادله لاپلاس
• 5.11 خلاصه
• منابع

5.0
مقدمه

قوانین الکتروکوازیستاتیک در فصل مورد بحث قرار گرفتند. 4. شدت میدان الکتریکی E غیر چرخشی است و با گرادیان منفی پتانسیل الکتریکی نشان داده می شود.

اگر پتانسیل الکتریکی با چگالی بار توسط معادله پواسون مرتبط باشد ، قانون گاوس برآورده می شود.

در مناطق بدون بار فضا، از معادله لاپلاس، (2)، با = 0 تبعیت می کند .

قسمت آخر فصل. 4 به یک رویکرد "فرصت طلبانه" برای یافتن راه حل های ارزش مرزی اختصاص داده شد. یک استثنا طرح عددی شرح داده شده در Sec. 4.8 که منجر به حل یک مسئله ارزش مرزی با استفاده از رویکرد منبع-برهم‌بندی شد. در این فصل، حمله مستقیم تری به حل مسائل مقدار مرزی بدون توسل به روش های عددی انجام می شود. این یکی از مواردی است که نه تنها به عنوان اثرات قطبش و هدایت به قوانین EQS، بلکه در برخورد با سیستم های MQS نیز به طور گسترده مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

بار دیگر، برای کسانی که با توصیف دینامیک مدار خطی بر حسب معادلات دیفرانسیل معمولی آشنا هستند، تشبیهی مفید وجود دارد. با زمان به عنوان متغیر مستقل، پاسخ به درایوی که با t = 0 روشن می شود را می توان به دو روش تعیین کرد. اولی پاسخ را به عنوان برهم نهی پاسخ های ضربه ای نشان می دهد. انتگرال پیچیدگی به دست آمده نشان دهنده پاسخ برای تمام زمان ها، قبل و بعد از t = 0 و حتی زمانی که t = 0 است . این مشابه دیدگاهی است که در بخش اول فصل گرفته شده است. 4.

رویکرد دوم تاریخچه دینامیک را قبل از زمانی که t = 0 بر حسب شرایط اولیه نشان می دهد. با درک این که علاقه به زمان‌های بعد از t = 0 محدود می‌شود ، سپس پاسخ به بخش‌های «خاص» و «همگن» تقسیم می‌شود. راه حل خاص برای معادله دیفرانسیل که مدار را نشان می دهد منحصر به فرد نیست، اما تضمین می کند که در هر لحظه در محدوده زمانی مورد نظر، معادله دیفرانسیل برآورده می شود. این راه حل خاص نیازی به ارضای شرایط اولیه ندارد. در این فصل، "درایو" چگالی بار است، و پاسخ پتانسیل خاص تضمین می کند که معادله پواسون، (2)، در همه جا در منطقه فضایی مورد نظر برآورده می شود.

در مدار آنالوگ از محلول همگن برای برآوردن شرایط اولیه استفاده می شود. در مسئله میدانی، از راه حل همگن برای برآوردن شرایط مرزی استفاده می شود. در یک مدار، راه حل همگن را می توان به عنوان پاسخ به درایوهایی در نظر گرفت که قبل از زمانی که t = 0 (خارج از محدوده زمانی مورد نظر) رخ داده اند. در تعیین توزیع پتانسیل، پاسخ همگن با معادله لاپلاس، (2) با = 0 پیش‌بینی می‌شود و می‌توان آن را ناشی از بارهای ساختگی خارج از منطقه مورد نظر یا ناشی از بارهای سطحی ناشی از آن دانست. در مرزها

توسعه این ایده ها در Secs. 5.1-5.3 مستقل است و به آشنایی با نظریه مدار بستگی ندارد. با این حال، برای کسانی که با حل معادلات دیفرانسیل معمولی آشنا هستند، دیدن این که رویکردهایی که در اینجا برای برخورد با معادلات دیفرانسیل جزئی استفاده می شود، بسط طبیعی آنهایی هستند که برای معادلات دیفرانسیل معمولی استفاده می شوند، رضایت بخش است.

اگرچه اغلب می‌توان آن را ساده‌تر با روش‌های دیگر پیدا کرد، اما یک راه‌حل خاص همیشه از انتگرال برهم نهی ناشی می‌شود. بنابراین، هدف اصلی این فصل به سمت تعیین راه‌حل‌های همگن، یافتن راه‌حل‌هایی برای معادله لاپلاس است. بسیاری از پیکربندی های عملی دارای مرزهایی هستند که با تنظیم یکی از متغیرهای مختصات در یک سیستم مختصات سه بعدی برابر با یک ثابت توصیف می شوند. به عنوان مثال، جعبه ای با مقطع مستطیلی دارای دیوارهایی است که با تنظیم یک مختصات دکارتی برابر با یک ثابت برای توصیف مرز توصیف می شود. به طور مشابه، مرزهای یک استوانه دایره ای به طور طبیعی در مختصات استوانه ای توصیف می شود. بنابراین، علاقه زیادی به داشتن راه‌حل‌هایی برای معادله لاپلاس وجود دارد که به طور طبیعی با این پیکربندی‌ها «مطابق» می‌شوند. با مثال‌های زیادی که در بحث در هم تنیده شده‌اند، بیشتر این فصل به فهرست‌نویسی این راه‌حل‌ها اختصاص دارد. نتایج در این فصل برای توصیف فیلدهای EQS در فضای آزاد استفاده می شود. با این حال، از آنجایی که اثرات قطبش و رسانش به حوزه EQS اضافه می‌شود، و از آنجایی که سیستم‌های MQS با مغناطیس و هدایت در نظر گرفته می‌شوند، راه‌حل‌های همگن معادله لاپلاس که در این فصل ایجاد شده است، یک منبع مستمر خواهد بود.

مروری بر فصل. 4 راه حل های زیادی را برای معادله لاپلاس مشخص می کند. تا زمانی که منبع میدان خارج از ناحیه مورد نظر باشد، پتانسیل حاصل از معادله لاپلاس تبعیت می کند. تفاوت راه حل های ارائه شده در این فصل چیست؟ یک اشاره از روش عددی استفاده شده در Sec. 4.8 برای ارضای شرایط مرزی دلخواه. در آنجا، برهم نهی راه حل های N به معادله لاپلاس برای برآوردن شرایط در N نقطه روی مرزها استفاده شد. متأسفانه، برای تعیین دامنه این N راه حل، N معادله باید برای N مجهول حل می شد.

راه‌حل‌های معادله لاپلاس که در این فصل یافت می‌شوند نیز می‌توانند به عنوان اصطلاحات در یک سری نامتناهی استفاده شوند که برای برآوردن شرایط مرزی دلخواه ساخته شده‌اند. اما آنچه در مورد اصطلاحات این مجموعه متفاوت است، متعامد بودن آنهاست. این ویژگی راه‌حل‌ها، تعیین صریح دامنه‌های مجزا در سری را ممکن می‌سازد. مفهوم متعامد بودن توابع ممکن است از طریق مواجهه با تحلیل فوریه آشنا باشد. در هر صورت، ایده های اساسی درگیر در بخش معرفی شده اند. 5.5.

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.0.html