ماتریس یکانی

ساخت وبلاگ

آخرین مطالب

امکانات وب

ماتریس یکانی

​از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

برای ماتریس‌هایی که دارای قائم به میدان عدد حقیقی هستند، به ماتریس متعامد مراجعه کنید. برای محدودیت در تکامل مجاز سیستم های کوانتومی که مجموع احتمالات همه نتایج ممکن هر رویداد را تضمین می کند همیشه برابر با 1 است، به وحدت مراجعه کنید. الف>

در جبر خطی، یک ماتریس مربع مختلط معکوس U یکانی است اگر باشد ترانهاده مزدوج U* نیز معکوس

{displaystyle U^{*}U=UU^{*}=UU^{-1}=I,}

که در آن I ماتریس همانی است.

در فیزیک، به ویژه در مکانیک کوانتومی، جابه‌جایی مزدوج به عنوان هرمیتین الحاقی یک ماتریس شناخته می‌شود و با علامت نشان داده می‌شود. (†)، بنابراین معادله بالا نوشته شده است خنجر

{displaystyle U^{dagger }U=UU^{dagger }=I.}

برای اعداد حقیقی، آنالوگ یک ماتریس یکانی یک ماتریس متعامد است. . ماتریس های یکانی در مکانیک کوانتومی اهمیت قابل توجهی دارند زیرا نرمها و بنابراین، دامنه های احتمال را حفظ می کنند. a i=8>.

خواص[ویرایش]

برای هر ماتریس یکانی U با اندازه محدود، موارد زیر را نگه دارید:

  • با توجه به دو بردار مختلط x و y، ضرب توسط U ضرب داخلی خود را حفظ می کند. یعنی 〈Ux، Uy〉 .
  • U طبیعی است ({displaystyle U^{*}U=UU^{*}}).
  • U قطری شدنی است. یعنی U به طور یکانی شبیه به یک ماتریس قطری است. نتیجه قضیه طیفی. بنابراین، U دارای تجزیه به شکل است.{displaystyle U=VDV^{*}،} که در آن V یکانی است و D قطری است و یکانی.
  • {displaystyle left|det(U)right|=1}. به این معنا که،{displaystyle det(U)}روی دایره یکانی صفحه مختلط خواهد بود.
  • فضاهای ویژه آن متعامد هستند.
  • U را می توان به صورت U = e نوشت >H است.ماتریس هرمیتی یک یکانی مختلط است و i، است ماتریس نمایی نشان دهنده e، که در آن iH

برای هر عدد صحیح n غیر منفی، مجموعه همه n * n ماتریس های یکانی با ضرب ماتریس یک گروه. (n)Uگروه یکانی ، به نام

هر ماتریس مربعی با نرم اقلیدسی یکانی، میانگین دو ماتریس یکانی است.[1]

شرایط معادل[ویرایش]

اگر U یک ماتریس مربع و مختلط باشد، شرایط زیر معادل هستند:[2 ]

  1. Uیکانی است
  2. U^{*} یکانی است
  3. Uمعکوس است با{displaystyle U^{-1}=U^{*}}.
  4. ستون هایU از مبنای متعارف از تشکیل می شود{displaystyle mathbb {C} ^{n}}با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر،{displaystyle U^{*}U=I}.
  5. ردیف هایUیک پایه متعارف از{displaystyle mathbb {C} ^{n}}با توجه به ضرب داخلی معمولی. به عبارت دیگر،{displaystyle UU^{*}=I}.
  6. U یک ایزومتی با توجه به نرم معمول است. یعنی {displaystyle |Ux|_{2}=|x|_{2}}برای همه {displaystyle xin mathbb {C} ^{n}} ، جایی که{textstyle |x|_{2}={sqrt {sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}.
  7. U یک ماتریس نرمال است (به طور معادل، یک مبنای متعارف وجود دارد که توسط بردارهای ویژه تشکیل شده است.U) با مقدارهای ویژه که روی دایره یکانی قرار دارد.

ساختارهای ابتدایی[ویرایش]

ماتریس یکانی 2*2ویرایش]

یک عبارت کلی از ماتریس یکانی *2 2 است

{displaystyle U={begin{bmatrix}a&b-e^{ivarphi }b^{*}&e^{ivarphi }a^{*}end{bmatrix} },qquad left|aright|^{2}+left|bright|^{2}=1 ,}

که به 4 پارامتر حقیقی بستگی دارد (فاز a، فاز b چنین ماتریسی باشد تعیین). فرم به گونه ای پیکربندی شده است که φ، و زاویه b و a، قدر نسبی بین

{displaystyle det(U)=e^{ivarphi }~.}

زیر گروه آن عناصر {displaystyle U }با {displaystyle det(U)=1 } گروه یکانی ویژه SU(2) نامیده می شود.

در میان چندین شکل جایگزین، ماتریس U را می توان به این شکل نوشت:

{displaystyle U=e^{ivarphi /2}{begin{bmatrix}e^{ialpha }cos theta &e^{ibeta }sin theta -e^ {-ibeta }sin theta &e^{-ialpha }cos theta end{bmatrix}} ,}

آ {displaystyle e^{ialpha }cos theta =a }و ه ،{displaystyle e^{ibeta }sin theta =b ,}بالا و زوایای {displaystyle varphi،alpha،beta،theta }می تواند هر مقداری را بگیرد.

از طریق معرفی {displaystyle alpha =psi +delta }و ،{displaystyle beta =psi -delta ,}فاکتورسازی زیر را دارد:

{displaystyle U=e^{ivarphi /2}{begin{bmatrix}e^{ipsi }&0�&e^{-ipsi }end{bmatrix}}{ begin{bmatrix}cos theta &sin theta -sin theta &cos theta end{bmatrix}}{begin{bmatrix}e^{idelta }& 0�&e^{-idelta }end{bmatrix}}~.}

این عبارت رابطه بین 2*2 ماتریس های یکانی و 2 * 2 . θ زاویه ماتریس های متعامد

فاکتورگیری دیگر[3] است

{displaystyle U={begin{bmatrix}cos rho &-sin rho sin rho &;;cos rho end{bmatrix}}{begin{bmatrix} e^{ixi }&0�&e^{izeta }end{bmatrix}}{begin{bmatrix};cos sigma &sin sigma -sin sigma &cos sigma end{bmatrix}}~.}

بسیاری از عوامل دیگر یک ماتریس یکانی در ماتریس های پایه امکان پذیر است.[4][5][6][7]

همچنین ببینید[ویرایش]

  • ماتریس هرمیتی و

ماتریس کج-هرمیتین

  • تجزیه ماتریس
  • گروه متعامد O(n)
  • گروه متعامد خاص SO(n)
  • ماتریس متعامد
  • ماتریس نیمه متعامد
  • دروازه منطق کوانتومی
  • گروه یونیتی ویژه SU(n)
  • ماتریس سمپلتیک
  • گروه یکانی U(n)
  • اپراتور یکانی

مراجع ]ویرایش]

  1. ^ لی، چی کوانگ؛ پون، ادوارد (2002). "تجزیه افزودنی ماتریس های حقیقی". جبر خطی و چند خطی. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507. S2CID 120125694.
  2. ^ هورن، راجر آ. جانسون، چارلز آر (2013). تحلیل ماتریس. انتشارات دانشگاه کمبریج. doi:10.1017/CBO9781139020411. ISBN 9781139020411.
  3. ^ فور، هارتموت؛ Rzeszotnik، Ziemowit (2018). "نکته ای در مورد فاکتورگیری ماتریس های یکانی". جبر خطی و کاربردهای آن. 547: 32–44. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. ISSN0024-3795. S2CID125455174.
  4. ^ ویلیامز، کالین پی. (2011). "دروازه های کوانتومی". در ویلیامز، کالین پی. اکتشافات در محاسبات کوانتومی. متون در علوم کامپیوتر. لندن، انگلستان: Springer. پ. 82. doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2 ISBN 978-1-84628-887-6.
  5. ^ نیلسن، M.A.؛ چوانگ، آیزاک (2010). محاسبات کوانتومی و اطلاعات کوانتومی. کمبریج، انگلستان: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 20. ISBN 978-1-10700-217-3. OCLC 43641333.
  6. ^ بارنکو، آدریانو؛ بنت، چارلز اچ. کلیو، ریچارد؛ دیوینچنزو، دیوید پی. مارگولوس، نورمن؛ شور، پیتر؛ و همکاران (1 نوامبر 1995). "دروازه های ابتدایی برای محاسبات کوانتومی". بازبینی فیزیکی A. انجمن فیزیک آمریکا (APS). 52 (5): 3457–3467، esp.p. 3465. arXiv:quant-ph/9503016. doi:10.1103/physreva.52.3457. ISSN1050-2947. PMID9912645. S2CID8764584.
  7. ^ مرویان، ایمان (10 ژانویه 2022). "محدودیت‌های عملیات یکانی قابل تحقق که توسط تقارن و محل اعمال می‌شود". فیزیک طبیعت. 18 (3): 283-289. arXiv:2003.05524. doi:10.1038/s41567-021-01464-0. ISSN1745-2481. S2CID245840243.

    همچنین ببینید:

    Alhambra، lvaro M. (10 ژانویه 2022). "ممنوع با تقارن". اخبار & بازدیدها فیزیک طبیعت. 18 (3): 235–236. doi:10.1038/s41567-021-01483-x. ISSN 1745-2481. S2CID 256745894. فیزیک سیستم های بزرگ اغلب به عنوان نتیجه عملیات محلی در میان اجزای آن درک می شود. اکنون نشان داده شده است که این تصویر ممکن است در سیستم های کوانتومی که برهمکنش های آنها توسط تقارن محدود شده است ناقص باشد.

پیوندهای خارجی[ویرایش]

  • وایسستاین، اریک دبلیو. "ماتریس یکانی". MathWorld. تاد رولند.
  • Ivanova, O. A. (2001) [1994]، "ماتریس یکانی"، دانشنامه ریاضیات، پرس EMS
  • "نشان دهید که مقادیر ویژه یک ماتریس یکانی دارای مدول 1 هستند". Stack Exchange. 28 مارس 2016

​

​

​

ریاضیات...
ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 43 تاريخ : چهارشنبه 29 آذر 1402 ساعت: 14:57

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه