راه حل از معادلات دیفرانسیل جزء به جزء خطی ناهمگن با مشتق جزء به جزء جماری و ارزیابی انتگرال خاص

قتام قوش 1، سوسمیتا شکر 2، داس شنتان 3، 4
1 بخش ریاضیات، نادویپ ویدی سگرکالج، نادویپ ، نادیا، غرب بنگال، هند
2 بخش ریاضی کاربردی، دانشگاه کلکته، کلکته، هند
3بخش طراحی سیستم کنترل راکتور3 مرکز تحقیقات اتمی بهابها، بمبئی، هند
4 بخش فیزیک، دانشگاه جادادپورکلکته بنگال غربیl، هند
چکیده
در این مقاله، ما یک روش برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی (FDE) ناهمگن خطی را توصیف می کنیم متشکل از مشتق جزیی نوع جماری و توصیف این روش توسعه یافته توسط ما برای پیدا کردن انتگرال خاص برای چند نوع توابع اجباری است. راه حل در قالب توابع میتگ رفلر، سینوسی کسری و توابع کسینوسی به دست آمده است. ما از روش پیشین ما برای پیدا کردن راه حل برای FDE همگن استفاده شده است که از طریق مشتق تقاربی جماری ساخته شده است و این را به FDE غیر نامحدود گسترش دادیم. ما این روش های توسعه یافته را با نمونه های کمی از FDE نشان داده ایم و همچنین در معادله دیفرانسیل مجزا فشرده اعمال شده است. قوانین کوتاه برش که در اینجا در این مقاله توسعه داده شده اند، برای جایگزینی اپراتور Da یا اپراتور D2a همانطور که در محاسبات کلاسیک استفاده می شود، در ارزیابی انتگرال های خاص سهولت می یابند. بنابراین این روش پیشنهاد شده توسط ما مفید و سودمند است زیرا با روش های کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل غیر نامحدود خطی و همچنین در فهم سیستم های فیزیکی توصیف شده توسط FDE مفید است.
کلمات کلیدی: توابع میتگ رفلر ، معادلات ناهمگن کسری، اصلاح شده تعریف لیوویل ریمان
معادلات دیفرانسیل کسری و راه حل های آن در شاخه های مختلف علم کاربردی، مهندسی، ریاضی کاربردی و زیست شناسی به وجود آمده است [19] [1]. حل معادلات تفاوت کسری توسط روش های مختلف به دست آمده که شامل روش تابع نمایی [10]، هموتوپی روش اختلال [11]، تنوع روش تکرار [12]، دیفرانسیل تبدیل روش [13] و جزء به جزء روش زیرمعادله [14]، راه حل های تحلیلی از لحاظ عملکرد میتگ رفلر [15]. در حال توسعه این روش ها، مشتق شده معمولا استفاده می شود لیوویل-ریمان (RL) [6]، مشتق کاپوتو [6]، اصلاح چپ دست جماری از مشتق کسر RL [16، 17]. در [15] یک الگوریتم برای حل معادلات دیفرانسیل مختلط همگن را ایجاد کرده ایم
از نظر عملکرد میتگ رفلر و توابع کسینوس و سینوسی کسری. با این وجود، هیچ روش استانداردی برای یافتن راه حل های معادلات دیفرانسیل ناهمگن جزیی وجود ندارد. در این مقاله، ما یک روش برای حل معادلات دیفرانسیل غیرموجان مرتبه مرتب را توصیف می کنیم.
سازمان های مقاله به شرح زیر هستند؛ در بخش 2 ما تعاریف مختلف مشتقات کسری و خواص عملکرد میتگ رفلر را توصیف می کنیم. در بخش 3.0 ما راه حل های معادلات دیفرانسیل تقسیم را توصیف می کنیم.در بخش 4، راه حل های سفارش معادلات دیفرانسیل کسر، با چندین نوع توابع اجباری توصیف شده است. در بخش 5، این روش برای حل معادلات نوسانگر مرتبه اجباری خنثی و خنثی استفاده شده است. در این مقاله اپراتور مشتق شده کسری از مشتق جزیی نوع جماری خواهد بود.
تعریف مشتقات جزئی
تعاریف مفیدی از مشتقات جزیی تعریف گرانوالد-لتوینکو (GL) و تعریف ریمان لیوویل [RL) [6)و تعاریف اصلاح شده RL و[ 17و16]،

تعریف گرانوالد-لتوینکو

.• بگذارید f تابع باشد و سپس مشتق مرتبه aام از آن تعریف می شود:

که a در آن هر عدد دلخواهی حقیقی یا مختلط است. و ضرایب دوجمله ای کلی به شرح زیر [1، 16، 17]

فرمول بالا می شود انتگرال مرتبه جزیی ا گر کهف فرمول انتگرال ریمان جزیی را جایگزین کنیم در:

در بالا ما چندین نشانه را برای انتگرال جزیی استفاده می کنیم.

• تعریف مشتق جزیی ریمان لیوویل

اجازه دهیدf تابع ی زمان و انتگرال پذیر باشد و سپس در زیر انتگرال- دیفرانسیل به صورت مشتق جزیی ریمان-لیوولی را تعریف می شود: [1، 6]

در اینجا n یک عدد صحیح مثبت فقط بزرگتر از عدد حقیقی a است. بیان فوق به عنوان تعریف ریمان-لیوویل مشتق کسری شناخته شده است [6] با در مشتق جزیی تعریف شده ثابت غیر صفر است.

• اصلاح تعریف ریمان- جماری

برای غلبه بر کمبود مشتق جزیی یک ثابت، به عنوان غیر صفر، اصلاح دیگری از تعریف مشتق جزیی R-L سمت چپ از عملکرد، توسط پیشنهاد شده توسط جماری[16] در قالب شرح زیر:

در اینجا ماحالتی که برای و. با این حال در این مقاله ما با استفاده از این مشتق چپ جزیی است که برای و با شرایط برای همه است. ما نماد و رها کرده و متغیر افتراق خواهد شد ساده و به سادگی ارسال .با استفاده تعریف بالا جماری [16] ثابت در بر داشت زیر:

ما به تازگی تعریف R-L مشتق جزئی تابع به شکل زیر [17] اصلاح شده:،

با استفاده از هر دو تعریف اصلاح شده ,ویژگیهای نقاط غیر دیفرانسیل پذیر برخی از توابع پیوسته در[17] بررسی شد.در بالا تمام مشتقات تعریف شده نوع غیر محلی هستندو راه حل برای FDE همگن، با مشتق شده چماری در[15] به دست آمده است.بعد از استفاده خواهیم کرد.به عنوان عملگر مشتق جزیی از نوع جماره، با نقطه شروع وبیان تابع برای همه در بخش های زیر:

2.1 تابع میتاگ-رفلر

تابع میتاگ-رفلر توسط میتاگ-رفلرr [18] در سال 1903 معرفی شد. تابع میتاگ-رفلر یک پارامتری توسط و توسط سری های زیر تعریف شده است

باز هم از تعریف جماری از مشتق جزیی است داریم ما اعمال می کنیم این ویژگی به مشتق مرتبه جماری از تابع میتاگ لفلر

بنابراین معادله دیفرانسیل جزیی راه حل در فرم دارد.که A یک ثابت دلخواه است.

2.2 معادلات دیفرانسیل جزیی غیر همگن و برخی از راه حل های اساسی

قضیه 1:

قضیه 2: اگر

---

3. معادلات دیفرانسیل جزئی غیر همگن مرتبه ی α

3.1 انتگرال خاص برای

• روش کوتاه برای محاسبه انتگرال خاص برای

3.2 انتگرال خاص برای

• روش کوتاه برای محاسبه انتگرال خاص برای

3.3. ارزیابی که

4-معادلات دیفرانسیل جزیی غیر همگن را مرتبه

فرمول عمومی معادلات دیفرانسیل جزیی غیر همگن

جایی که p و q در اینجا ثابت هستند. معادله دیفرانسیل جزیی غیر همگن مرتبه را در نظر بگیرید

4.1 استفاده از روش ، روش ضریب نامعین برای محاسبه انتگرال های خاص برای فرم های کاربردی مختلف

برای ما معادله داده شده زیر را داریم:

در اینجا انتگرال خاصی برابر که P ثابت است.بنابراین

و قرار دادن معادله داده شده (4.1)، زیر را دریافت می کنیم

بنابراین

4.2 استفاده از روش مستقیم برای محاسبه انتگرال های خاص برای فرمت عملکردی مختلف

برای

در این مورد، حل کلی خواهد بود

برای

در این مورد، حل کلی خواهد بود:

• برای

در این مورد، جواب کلی خواهد بود

• در مورد عمومی برای هر نوع تابع چندجمله ای انتگرال خاص برابر است با:

برای باید یک عامل از فرم داشته باشد

بنابراین:

• دوباره اگر در اینجا با استفاده از قانون مشتق تقسیم لایبنیتس بر روی (مشتق قطعه نوع جماری) گام های زیر را بدست میآوریم:

بنابراین در حالت کلی داریم:

5. راه حل جزء به جزء دیفرانسیل-کاربرد روش مشتق

مثال 1: ما معادله دیفرانسیل جزیی زیر را حل می کنیم:

راه حل: در اینجا راه حل معادله همگن مربوطه [15]

محاسبه انتگرال خاص در مراحل زیر انجام می شود:

از این رو راه حل کلی این است:

مثال 2: معادله دیفرانسیل اجباری مرتب جزیی زیر را در نظر بگیرید

راه حل: در اینجا راه حل معادله همگن مربوطه [15]

انتگرال خاص برابر است با:

از این رو راه حل کلی این است:

برای انتگرال خاص ما جایگزین کردیم:

مثال 3: نگاه کنید به معادله دیفرانسیل جزیی میرا -مجبور :

راه حل: در اینجا راه حل معادله همگن مربوطه [15]

انتگرال خاص برابر است با:

اینجا جایگزین کنید

عدد pr و معکوس آآنرا ضرب کنید

جواب کلی برابر است با: