راه حل از معادلات دیفرانسیل جزء به صزء خطی ناهمگن با مشتق جزء به جزء جماری و ارزیابی انتگرال خاص

آخرین مطالب

امکانات وب

راه حل از معادلات دیفرانسیل جزء به صزء خطی ناهمگن با مشتق جزء به جزء جماری و ارزیابی انتگرال خاص

قتام قوش 1، سوسمیتا شکر 2، داس شنتان 3، 4
1 بخش ریاضیات، نادویپ ویدی سگرکالج، نادویپ ، نادیا، غرب بنگال، هند
2 بخش ریاضی کاربردی، دانشگاه کلکته، کلکته، هند
3بخش طراحی سیستم کنترل راکتور3 مرکز تحقیقات اتمی بهابها، بمبئی، هند
4 بخش فیزیک، دانشگاه جادادپورکلکته بنگال غربیl، هند
چکیده
در این مقاله، ما یک روش برای حل معادلات دیفرانسیل جزیی (FDE) ناهمگن خطی را توصیف می کنیم متشکل از مشتق جزیی نوع جماری و توصیف این روش توسعه یافته توسط ما برای پیدا کردن انتگرال خاص برای چند نوع توابع اجباری است. راه حل در قالب توابع میتگ رفلر، سینوسی کسری و توابع کسینوسی به دست آمده است. ما از روش پیشین ما برای پیدا کردن راه حل برای FDE همگن استفاده شده است که از طریق مشتق تقاربی جماری ساخته شده است و این را به FDE غیر نامحدود گسترش دادیم. ما این روش های توسعه یافته را با نمونه های کمی از FDE نشان داده ایم و همچنین در معادله دیفرانسیل مجزا فشرده اعمال شده است. قوانین کوتاه برش که در اینجا در این مقاله توسعه داده شده اند، برای جایگزینی اپراتور Da یا اپراتور D2a همانطور که در محاسبات کلاسیک استفاده می شود، در ارزیابی انتگرال های خاص سهولت می یابند. بنابراین این روش پیشنهاد شده توسط ما مفید و سودمند است زیرا با روش های کلاسیک حل معادلات دیفرانسیل غیر نامحدود خطی و همچنین در فهم سیستم های فیزیکی توصیف شده توسط FDE مفید است.
کلمات کلیدی: توابع میتگ رفلر ، معادلات ناهمگن کسری، اصلاح شده تعریف لیوویل ریمان
معادلات دیفرانسیل کسری و راه حل های آن در شاخه های مختلف علم کاربردی، مهندسی، ریاضی کاربردی و زیست شناسی به وجود آمده است [19] [1]. حل معادلات تفاوت کسری توسط روش های مختلف به دست آمده که شامل روش تابع نمایی [10]، هموتوپی روش اختلال [11]، تنوع روش تکرار [12]، دیفرانسیل تبدیل روش [13] و جزء به جزء روش زیرمعادله [14]، راه حل های تحلیلی از لحاظ عملکرد میتگ رفلر [15]. در حال توسعه این روش ها، مشتق شده معمولا استفاده می شود لیوویل-ریمان (RL) [6]، مشتق کاپوتو [6]، اصلاح چپ دست جماری از مشتق کسر RL [16، 17]. در [15] یک الگوریتم برای حل معادلات دیفرانسیل مختلط همگن را ایجاد کرده ایم
از نظر عملکرد میتگ رفلر و توابع کسینوس و سینوسی کسری. با این وجود، هیچ روش استانداردی برای یافتن راه حل های معادلات دیفرانسیل ناهمگن جزیی وجود ندارد. در این مقاله، ما یک روش برای حل معادلات دیفرانسیل غیرموجان مرتبه مرتب را توصیف می کنیم.
سازمان های مقاله به شرح زیر هستند؛ در بخش 2 ما تعاریف مختلف مشتقات کسری و خواص عملکرد میتگ رفلر را توصیف می کنیم. در بخش 3.0 ما راه حل های معادلات دیفرانسیل تقسیم را توصیف می کنیم.در بخش 4، راه حل های سفارش معادلات دیفرانسیل کسر، با چندین نوع توابع اجباری توصیف شده است. در بخش 5، این روش برای حل معادلات نوسانگر مرتبه اجباری خنثی و خنثی استفاده شده است. در این مقاله اپراتور مشتق شده کسری از مشتق جزیی نوع جماری خواهد بود.
تعریف مشتقات جزئی
تعاریف مفیدی از مشتقات جزیی تعریف گرانوالد-لتوینکو (GL) و تعریف ریمان لیوویل [RL) [6)و تعاریف اصلاح شده RL و[ 17و16]،

تعریف گرانوالد-لتوینکو

.• بگذارید f تابع باشد و سپس مشتق مرتبه aام از آن تعریف می شود:

که a در آن هر عدد دلخواهی حقیقی یا مختلط است. و ضرایب دوجمله ای کلی به شرح زیر [1، 16، 17]

فرمول بالا می شود انتگرال مرتبه جزیی ا گر کهف فرمول انتگرال ریمان جزیی را جایگزین کنیم در:

در بالا ما چندین نشانه را برای انتگرال جزیی استفاده می کنیم.

• تعریف مشتق جزیی ریمان لیوویل

اجازه دهیدf تابع ی زمان و انتگرال پذیر باشد و سپس در زیر انتگرال- دیفرانسیل به صورت مشتق جزیی ریمان-لیوولی را تعریف می شود: [1، 6]

در اینجا n یک عدد صحیح مثبت فقط بزرگتر از عدد حقیقی a است. بیان فوق به عنوان تعریف ریمان-لیوویل مشتق کسری شناخته شده است [6] با در مشتق جزیی تعریف شده ثابت غیر صفر است.

• اصلاح تعریف ریمان- جماری

برای غلبه بر کمبود مشتق جزیی یک ثابت، به عنوان غیر صفر، اصلاح دیگری از تعریف مشتق جزیی R-L سمت چپ از عملکرد، توسط پیشنهاد شده توسط جماری[16] در قالب شرح زیر:

در اینجا ماحالتی که برای و. با این حال در این مقاله ما با استفاده از این مشتق چپ جزیی است که برای و با شرایط برای همه است. ما نماد و رها کرده و متغیر افتراق خواهد شد ساده و به سادگی ارسال .با استفاده تعریف بالا جماری [16] ثابت در بر داشت زیر:

ما به تازگی تعریف R-L مشتق جزئی تابع به شکل زیر [17] اصلاح شده:،

با استفاده از هر دو تعریف اصلاح شده ,ویژگیهای نقاط غیر دیفرانسیل پذیر برخی از توابع پیوسته در[17] بررسی شد.در بالا تمام مشتقات تعریف شده نوع غیر محلی هستندو راه حل برای FDE همگن، با مشتق شده چماری در[15] به دست آمده است.بعد از استفاده خواهیم کرد.به عنوان عملگر مشتق جزیی از نوع جماره، با نقطه شروع وبیان تابع برای همه در بخش های زیر:

2.1 تابع میتاگ-رفلر

تابع میتاگ-رفلر توسط میتاگ-رفلرr [18] در سال 1903 معرفی شد. تابع میتاگ-رفلر یک پارامتری توسط و توسط سری های زیر تعریف شده است

باز هم از تعریف جماری از مشتق جزیی است داریم ما اعمال می کنیم این ویژگی به مشتق مرتبه جماری از تابع میتاگ لفلر

بنابراین معادله دیفرانسیل جزیی راه حل در فرم دارد.که A یک ثابت دلخواه است.

2.2 معادلات دیفرانسیل جزیی غیر همگن و برخی از راه حل های اساسی

قالب کلی معادله دیفرانسیل خطی جزیی عبارت است از:

که عملگردیفرانسیل خطی از نوع جماره است. معادله دیفرانسیل بالا ، گفته می شود معادله دیفرانسیل خطی جزیی غیرهمگن است هر گاه

در غیر اینصورت همگن است. حل معادله دیفرانسیل خطی جزیی (ترکیب شده با مشتق جماری) به آسانی با تابع متیتینگ –رفلر و توابع سینوس وکسینوس کسری بدست می آید.[15]

تابع تابع تحریک است .ما بطور عمد تابع ها رابا متغیر نوشته ایم . به طور مثال در این مقاله از ,, استفاده می کنیم.اینها تابع تحریک هستند. وجود دارند توابع دیگردر مشتقات شبیه , تمام توابع با متغیر مقیاس پذیر که با آن توصیف شده است. با این وجود توابع اجباری می توانند به راحتی نوشته شوند.

در این مقاله [15]، موارد زیر (قضیه ها) را که در این مقاله استفاده می کنیم، در نظر گرفتیم:

(i) معادله دیفرانسیل کسری

دارای راه حل فرم استکه A و B ثابت هستند.

(2) معادله دیفرانسیل کسریدارای راه حل فرم استکه در آن A و B ثابت هستند و

(iii) حل معادله دیفرانسیل کسری

از فرم است که A و B ثابت هستند.

قضیه 1:اگر y1 و y2 دو حل از معادله دیفرانسیل جزییباشد، همچنینیک حل است، که c1 و c2 ثابت هستند.

اثبات: از آنجا که راه حل هاو دارند

از این رو یک راه حل از معادله دیفرانسیل جزیی داده شده است.

از این رو قضیه ثابت شده است.

به طور مشابه، ما می توانیم ثابت کنیم که اگر آیا حل های معادلات دیفرانسیل جزیی است ، و همچنین یک راه حل از آن است.

قضیه 2: اگر

پس حل معادله همگن برابر است با که A_k هابه طور دائمی ثابت است و همه آنها متمایز هستند.

اثبات: از آنجا نوع مشتق جزئی جماره تابع میتاگ لفلر با α به عنوان یک ثابت عبارت است بنابراین حل معادله دیفرانسیل است که در آن A یک ثابت است. [15]

فرض کنید یک راه حل معادله غیرمعمول معادله دیفرانسیل باشد پس یا بعد از تفریق از هر دو طرف عبارت زیر را بنویسید

ما نتیجه فوق را به صورت پی در پی اعمال می کنیم همانطور که در زیر نشان داده شده است

از آنجا که

داریم:

نتیجه می دهد که

بنابراین جواب کلی برابر است با:

از این رو قضیه ثابت شده است.

قضیه فوق الذکر نشان می دهد که اصل فوق العاده برای معادلات دیفرانسیل خطی کسر (متشکل از مشتق تقسیم جمیری) نیز وجود دارد.

نکته: در قضیه فوق اگر دو یا چند ریشه ی معادله (2.2) برابر باشند یا ریشه ها موهومی باشند، فرمول [15] در زیر آمده است.

بنابراين، راه حل هاي خطي همگني معادلات ديفرانسيل جزیی با مشتق جزییچماره از لحاظ تابع میتینگ-رفلر و مجموعه هاي سينوس و كوسينوس نوع جزیی است.

حالا سوال این است که چه خواهد شد راه حل معادلات دیفرانسیل خنثی خطی غیر همگن. راه حل مربوط به معادله همگن به عنوان تابع مکمل نامیده می شود، حاوی ثابت های دلخواه است و این راه حل با مشخص می شود. بخش دیگر، این یک راه حل است که از یک ثابت غیر انتزاعی آزاد است و بسته به عملکرد تسلیحاتی به عنوان یک چواب خاص (PI) نامیده می شود و توسط مشخص می شود. بنابراین راه حل کلی خواهد بود. ما روش ساده ای را برای ارزیابی یک جزء خاص توسعه خواهیم داد.

3. معادلات دیفرانسیل جزئی غیر همگن مرتبه ی α

فرض کنید معادله دیفرانسیل غیرهمگن خطی مرتبه با برای برای ازفرم زیر:

حل متناظر قسمت همگن برابر است با:

ضرب هر دو طرف معادله در همانطور که در زیر نشان داده شده است:

در مراحل بالا ما استفاده کرده ایم:

اکنون با عمل روی هر دو طرف از عبارت آخربدست آمده در اشتقاق بالا به عنوان مثال

یا

بخش اول مربوط به راه حل های مربوط به معادله همگن، این است که

و بخش دیگر

مربوط به اثر بخشی غیر همگن و آزاد از ثابت انتگرال است، اما بسته به ماهیت تابع تحریک، این بخش به عنوان انتگرال خاص (PI) به عنوان در مورد معادلات دیفرانسیل کلاسیک نامیده می شود. حالا ما چندین شکل از تابع مجبور می دهیم.

3.1 انتگرال خاص برای

در اینجا در نظر بگیرید معادله دیفرانسیل حزیی مرتبه اول غیر همگن خطی از مرتبهα برای

سپس انتگرال خاص (PI) در بخش قبلی توضیح داده شده است

قرار دادن در بالا ما در بر داشت نتیجه زیررا:

• روش کوتاه برای محاسبه انتگرال خاص برای

در اینجا ما مشاهده می کنیم که اپراتور مشتق شده D در مورد اول به جای c قرار می گیرد. برای در حالت دوم، عملگر مشتق D با D + a جایگزین می شود.ما می توانیم عملگر مشتق جزیی جماره را جایگزین c کنیم.برای حالت اول با برای حالت دوم روش کوتاه همانند زیر برای انتگرال خاص که هست :