میدان برداری پایستار

آخرین مطالب

امکانات وب

میدان برداری پایستار

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله شامل فهرستی از مراجع عمومی است ، اما فاقد استنادهای درون خطی متناظر کافی است . لطفا با معرفی نقل قول های دقیق تر به بهبود این مقاله کمک کنید. ( می 2009 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

در محاسبات برداری ، یک میدان برداری پایستار ، یک میدان برداری است که گرادیان یک تابع است . [1] یک میدان برداری پایستار این ویژگی را دارد که انتگرال خط آن مستقل از مسیر باشد. انتخاب مسیر بین دو نقطه مقدار انتگرال خط را تغییر نمی دهد. مستقل مسیر انتگرال خط برابر با پایستار بودن میدان برداری زیر انتگرال خط است. یک میدان برداری پایستار نیز غیر پیچشی است. در سه بعدی، به این معنی است که دارای کرل صفر است . یک میدان برداری پیچشی الزاماً پایستار است به شرطی که دامنه به سادگی متصل باشد .

میدان های برداری پایستار به طور طبیعی در مکانیک ظاهر می شوند : آنها میدان های برداری هستند که نیروهای سیستم های فیزیکی را نشان می دهند که در آنها انرژی حفظ می شود . [2] برای یک سیستم پایستار، کار انجام شده در حرکت در امتداد یک مسیر در فضای پیکربندی تنها به نقاط انتهایی مسیر بستگی دارد، بنابراین می توان انرژی پتانسیل را مستقل از مسیر واقعی طی شده تعریف کرد.

بیان غیررسمی [ ویرایش ]

در یک فضای دو و سه بعدی، ابهام در گرفتن انتگرال بین دو نقطه وجود دارد، زیرا بین دو نقطه مسیرهای بی نهایت زیادی وجود دارد - به غیر از خط مستقیم تشکیل شده بین دو نقطه، می توان یک مسیر منحنی را انتخاب کرد. طول بیشتر همانطور که در شکل نشان داده شده است. بنابراین به طور کلی مقدار انتگرال به مسیر طی شده بستگی دارد. با این حال، در مورد خاص یک میدان برداری پایستار، مقدار انتگرال مستقل از مسیر طی شده است، که می توان آن را به عنوان یک لغو در مقیاس بزرگ از همه عناصر در نظر گرفت. ${displaystyle d{R}}$ که در امتداد خط مستقیم بین دو نقطه جزء ندارند. برای تجسم این موضوع، دو نفر را در حال بالا رفتن از یک صخره تصور کنید. یکی تصمیم می گیرد تا صخره را با بالا رفتن عمودی از آن بالا برود و دومی تصمیم می گیرد در امتداد مسیری پرپیچ و خم قدم بزند که طول آن بیشتر از ارتفاع صخره است، اما فقط با زاویه کمی نسبت به افقی. اگرچه این دو کوهنورد مسیرهای مختلفی را برای رسیدن به بالای صخره طی کرده‌اند، اما در بالای آن، هر دو به یک اندازه انرژی پتانسیل گرانشی به دست آورده‌اند. این به این دلیل است که یک میدان گرانشی پایستار است.

تصویری از دو مسیر ممکن برای انتگرال. در سبز ساده ترین مسیر ممکن است. آبی منحنی پیچیده تری را نشان می دهد

توضیح بصری [ ویرایش ]

چاپ سنگی MC Escher Ascending and Descending یک میدان برداری غیر پایستار را نشان می دهد که به طور غیرممکن به نظر می رسد شیب ارتفاع متغیر از سطح زمین (پتانسیل گرانشی) در هنگام حرکت در امتداد راه پله باشد. میدان نیروی تجربه شده توسط فردی که روی پله حرکت می کند غیر پایستار است، زیرا می توان در حالی که بیش از یک فرود می رود یا برعکس، به نقطه شروع بازگشت و در نتیجه کار غیر صفر توسط گرانش انجام می شود. در یک راه پله واقعی، ارتفاع بالای سطح زمین یک میدان پتانسیل اسکالر است: برای بازگشت به همان مکان باید دقیقاً به همان اندازه که به سمت پایین می رود به سمت بالا رفت، در این صورت کار توسط گرانش به صفر می رسد. این حاکی از مستقل مسیر کار انجام شده در راه پله است. به طور معادل، میدان نیروی تجربه شده پایستار است (به بخش بعدی مراجعه کنید: مستقل مسیر و میدان برداری پایستار). وضعیت نشان داده شده در چاپ غیرممکن است.

تعریف [ ویرایش ]

یک میدان برداری ${displaystyle mathbf {v} :Uto mathbb {R} ^{n}}$ ، جایی که $U$ یک زیر مجموعه باز از $mathbb {R} ^{n}$ ، گفته می شود پایستار است اگر و فقط اگر وجود داشته باشد $ج^{1}$ میدان اسکالر ( به طور پیوسته مشتق پذیر ). $varphi$ [3] در $U$ به طوری که

${displaystyle mathbf {v} =nabla varphi .}$

اینجا، $nabla varphi$ نشان دهنده گرادیان است $varphi$ . از آنجا که $varphi$ به طور مداوم مشتق پذیر است، $mathbf {v}$ پیوسته است. وقتی معادله بالا برقرار است، $varphi$ پتانسیل اسکالر برای $mathbf {v}$ نامیده می شود.

قضیه اساسی حساب برداری بیان می کند که هر میدان برداری را می توان به صورت مجموع یک میدان برداری پایستار و یک میدان سلونوئیدی بیان کرد .

مستقل مسیر و میدان برداری پایستار [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه گرادیان

مستقل مسیر [ ویرایش ]

انتگرال خطی از یک میدان برداری $mathbf {v}$ اگر تنها به دو نقطه پایانی مسیر انتگرال بستگی داشته باشد، بدون توجه به اینکه کدام مسیر بین آنها انتخاب شده است، گفته می شود که مستقل از مسیر است: [4]

${displaystyle int _{P_{1}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =int _{P_{2}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} }$

برای هر جفت مسیر انتگرال و $P_{2}$ بین یک جفت مشخص از نقاط پایانی مسیر در $U$ .

مستقل مسیر نیز به صورت معادل بیان می شود

${displaystyle int _{P_{c}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =0}$ برای هر مسیر بسته به صورت تکه ای صافپ $P_{c}$ جکه در $U$ جایی که دو نقطه پایانی بر هم منطبق هستند. دو عبارت از هر مسیر بسته ای معادل هستندپج $P_{c}$ می توان با دو مسیر ساخته شد. $P_{1}$ از یک نقطه پایا $آ$ به نقطه پایانی دیگر $ب$ ، و $P_{2}$ از جانب $ب$ به $آ$ ، بنابراین

${displaystyle int _{P_{c}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =int _{P_{1}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} + int _{P_{2}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =int _{P_{1}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} -int _{- P_{2}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =0}$ جایی که- ${displaystyle -P_{2}}$ برعکس است $P_{2}$ و آخرین برابری به دلیل مسیر مستقل برقرار است. ${textstyle int _{P_{1}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =int _{-P_{2}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} . }$

میدان برداری پایستار [ ویرایش ]

ویژگی کلیدی یک میدان برداری پایستار $mathbf {v}$ این است که انتگرال آن در طول یک مسیر فقط به نقاط انتهایی آن مسیر بستگی دارد، نه مسیر خاصی که طی شده است. به عبارت دیگر، اگر یک میدان برداری پایستار باشد، انتگرال خط آن مستقل از مسیر است. فرض کنید که ${displaystyle mathbf {v} =nabla varphi }$ برای برخی $ج^{1}$ میدان اسکالر ( به طور پیوسته مشتق پذیر ). $varphi$ [3] به پایان رسید $U$ به عنوان یک زیر مجموعه باز از $mathbb {R} ^{n}$ (بنابراین $mathbf {v}$ یک میدان برداری پایستار است که پیوسته است) وپ $پ$ یک مسیر متمایز پذیر است (یعنی می توان آن را با یک تابع متمایز پارامتر کرد ) در $U$ با یک نقطه اولیهآ $آ$ و یک نقطه پایانی $ب$ . سپس قضیه گرادیان (که به آن قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال خط نیز گفته می شود ) بیان می کند که

${displaystyle int _{P}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }=varphi (B)-varphi (A).}$

این به عنوان یک نتیجه از تعریف یک انتگرال خط ، قانون زنجیره ، و دومین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال صدق می کند .⋅د⋅د ${displaystyle mathbf {v} cdot dmathbf {r} =nabla {varphi }cdot dmathbf {r} }$ در انتگرال خط یک دیفرانسیل دقیق برای یک سیستم مختصات متعامد است (مثلاً مختصات دکارتی ، استوانه‌ای یا کروی ). از آنجایی که قضیه گرادیان برای یک مسیر متمایز قابل استفاده است، مستقل مسیر یک میدان برداری پایستار بر روی منحنی های تکه-دیفرانسیل نیز با اثبات هر جزء منحنی متمایز اثبات می شود. [5]

تا کنون ثابت شده است که یک میدان برداری پایستار است $mathbf {v}$ مستقل از مسیر انتگرال خط است. برعکس، اگر یک میدان برداری پیوسته $mathbf {v}$ (انتگرال خط) مستقل از مسیر است، پس یک میدان برداری پایستار است ، بنابراین عبارت دوشرطی زیر صادق است: [4]

برای یک میدان برداری پیوسته ${displaystyle mathbf {v} :Uto mathbb {R} ^{n}}$ ، جایی که $U$ یک زیر مجموعه باز از $mathbb {R} ^{n}$ ، پایستار است اگر و فقط در صورتی که خط آن در امتداد یک مسیر در داخل باشد $U$ مستقل از مسیر است، به این معنی که انتگرال خط فقط به هر دو نقطه پایانی مسیر بستگی دارد، صرف نظر از اینکه کدام مسیر بین آنها انتخاب شده است.

اثبات این گزاره معکوس به شرح زیر است.

از مسیرهای انتگرال خطی برای اثبات عبارت زیر استفاده می شود: اگر انتگرال خط یک میدان برداری مستقل از مسیر باشد، آنگاه میدان برداری یک میدان برداری پایستار است.

$mathbf {v}$ یک میدان برداری پیوسته است که انتگرال خطی آن مستقل از مسیر است. سپس، بیایید یک تابع بسازیم $varphi$ که تعریف میشود

${displaystyle varphi (x,y)=int _{a,b}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }}$ در یک مسیر دلخواه بین یک نقطه شروع انتخاب شده $(الف، ب)$ و یک نکته دلخواه $(x,y)$ . از آنجایی که مستقل از مسیر است، فقط به آن بستگی دارد $(الف، ب)$ و $(x,y)$ صرف نظر از اینکه کدام مسیر بین این نقاط انتخاب شده است.

بیایید مسیر نشان داده شده در سمت چپ شکل سمت راست را انتخاب کنیم که در آن از یک سیستم مختصات دکارتی 2 بعدی استفاده شده است. بخش دوم این مسیر به موازات آن است $ایکس$ محور بنابراین هیچ تغییری در امتداد وجود ندارد $y$ محور. انتگرال خط در طول این مسیر است

${displaystyle int _{a,b}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }=int _{a,b}^{x_{1},y} mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }+int _{x_{1},y}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }.}$ با مستقل مسیر، مشتق جزئی آن نسبت به $ایکس$ (برای $varphi$ داشتن مشتقات جزئی، $mathbf {v}$ باید پیوسته باشد.) است

${displaystyle {frac {partial varphi }{partial x}}={frac {partial }{partial x}}int _{a,b}^{x,y}mathbf {v } cdot d{mathbf {r} }={frac {partial }{partial x}}int _{a,b}^{x_{1},y}mathbf {v} cdot d {mathbf {r} }+{frac {partial }{partial x}}int _{x_{1},y}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf { r} }=0+{frac {partial }{partial x}}int _{x_{1},y}^{x,y}mathbf {v} cdot d{mathbf {r} }}$ از آنجا که $x_{1}$ و $ایکس$ مستقل از یکدیگر هستند. بیان کنیم $mathbf {v}$ مانند ${displaystyle {displaystyle mathbf {v} }=P(x,y)mathbf {i} +Q(x,y)mathbf {j} }$ جایی که $mathbf{i}$ و $mathbf {j}$ بردار واحد در امتداد هستند $ایکس$ و $y$ محورها به ترتیب، پس از آن ${displaystyle dmathbf {r} =dxmathbf {i} +dymathbf {j} }$ ،

${displaystyle {frac {partial }{partial x}}varphi (x,y)={frac {partial }{partial x}}int _{x_{1},y}^{ x,y}mathbf {v} cdot dmathbf {r} ={frac {partial }{partial x}}int _{x_{1},y}^{x,y}P( t,y)dt=P(x,y)}$ که در آن آخرین برابری از دومین قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال است .

یک رویکرد مشابه برای مسیر انتگرال خط نشان داده شده در سمت راست شکل سمت راست به نتیجه می رسد ${textstyle {frac {partial }{partial y}}varphi (x,y)=Q(x,y)}$ بنابراین

${displaystyle mathbf {v} =P(x,y)mathbf {i} +Q(x,y)mathbf {j} ={frac {partial varphi }{partial x}}mathbf {i} +{frac {partial varphi }{partial y}}mathbf {j} =nabla varphi }$ برای سیستم مختصات دکارتی دو بعدی ثابت شده است . این روش اثبات را می توان به سادگی به یک سیستم مختصات متعامد با ابعاد بالاتر (به عنوان مثال، یک سیستم مختصات کروی 3 بعدی ) گسترش داد تا گزاره معکوس ثابت شود. دلیل دیگری در اینجا به عنوان عکس قضیه گرادیان یافت می شود.

میدانهای برداری غیر پیچشی [ ویرایش ]

میدان برداری فوق ${displaystyle mathbf {v} =left(-{frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{frac {x}{x^{2}+y^{ 2}}}،0راست)}$ تعریف شده در ${displaystyle U=mathbb {R} ^{3}setminus {(0,0,z)mid zin mathbb {R} }}$ ، $mathbb{R} ^{3}$ با حذف تمام مختصات روی $z$ محور (بنابراین نه یک فضای ساده متصل)، دارای پیچش صفر است $U$ و بنابراین غیر پیچشی است. اما پایستار نیست و مستقل مسیر ندارد.

اجازه دهید $n = 3$ (فضای سه بعدی)، و اجازه دهید: ${displaystyle mathbf {v} :Uto mathbb {R} ^{3}}$ یک باشد $ج^{1}$ میدان برداری ( به طور پیوسته مشتق پذیر )، با یک زیر مجموعه باز $U$ از $mathbb {R} ^{n}$ . سپس $mathbf {v}$ غیر پیچشی نامیده می شود اگر و تنها در صورتی که حلقه آن باشد0 $mathbf {0}$ همه جا در $U$ ، یعنی اگر

${displaystyle nabla times mathbf {v} equiv mathbf {0} .}$

به همین دلیل، گاهی اوقات به چنین میدانهای برداری به عنوان میدانهای برداری بدون کرل یا میدانهای برداری بدون پیچش گفته می شود . به آنها میدان های برداری طولی نیز می گویند .

این یک اتحاد از حساب برداری است که برای هرسی2 $C^{2}$ میدان اسکالر ( به طور پیوسته تا مشتق دوم مشتق پذیر است ). $varphi$ بر $U$ ، ما داریم

${displaystyle nabla times (nabla varphi )equiv mathbf {0} .}$

بنابراین، هر $ج^{1}$ میدان برداری پایستار در $U$ همچنین یک میدان برداری غیر پیچشی در است $U$ . این نتیجه را می توان به راحتی با بیان اثبات کرد ${displaystyle nabla times (nabla varphi )}$ در یک سیستم مختصات دکارتی با قضیه شوارتز (همچنین قضیه Clairaut در مورد تساوی جزئی های مختلط نیز نامیده می شود).

به شرطی که $U$ یک فضای باز متصل ساده است (به طور کلی، یک فضای باز تک تکه بدون سوراخ در داخل آن)، برعکس این نیز صادق است: هر میدان برداری پیچشی در یک فضای باز متصل به سادگی $U$ هست یک $ج^{1}$ میدان برداری پایستار در $U$ .

عبارت فوق به طور کلی درست نیست اگر $U$ به سادگی متصل نیست اجازه دهید $U$ بودن $mathbb{R} ^{3}$ با حذف تمام مختصات روی $z$ محور (بنابراین نه یک فضای متصل به سادگی)، به عنوان مثال، ${displaystyle U=mathbb {R} ^{3}setminus {(0,0,z)mid zin mathbb {R} }}$ . حالا یک میدان برداری تعریف کنید $mathbf {v}$ بر $U$ توسط

${displaystyle mathbf {v} (x,y,z)~{stackrel {text{def}}{=}}~left(-{frac {y}{x^{2}+y^ {2}}}،{frac {x}{x^{2}+y^{2}}}،0راست).}$

سپس $mathbf {v}$ در همه جا پیچش صفر است $U$ ( ${displaystyle nabla times mathbf {v} equiv mathbf {0} }$ در همه جا $U$ ) یعنی $mathbf {v}$ غیر پیچشی است با این حال، گردش از $mathbf {v}$ اطراف دایره واحد در $xy$ -فضا است2 $2pi$ ; در مختصات قطبی ، ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {e} _{phi }/r}$ ، بنابراین انتگرال روی دایره واحد است

${displaystyle oint _{C}mathbf {v} cdot mathbf {e} _{phi }~d{phi }=2pi .}$

از این رو، $mathbf {v}$ ویژگی مسیر مستقل که در بالا مورد بحث قرار گرفت را ندارد، بنابراین پایستار نیست حتی اگر ${displaystyle nabla times mathbf {v} equiv mathbf {0} }$ از آنجا که $U$ جایی که $mathbf {v}$ تعریف شده است یک فضای باز متصل به سادگی نیست.

دوباره بگویید، در یک منطقه باز متصل به سادگی، یک میدان برداری غیر پیچشی $mathbf {v}$ دارای ویژگی مسیر-مستقل (بنابراین $mathbf {v}$ به عنوان پایستار). این را می توان مستقیماً با استفاده از قضیه استوکس ثابت کرد .

${displaystyle oint _{P_{c}}mathbf {v} cdot dmathbf {r} =iint _{A}(nabla times mathbf {v} )cdot dmathbf {a } =0}$ برای هر سطح صاف جهت دار $آ$ که مرز یک مسیر بسته ساده است $P_{c}$ . بنابراین، نتیجه گیری می شود که در یک منطقه باز متصل ساده، هر $ج^{1}$ میدان برداری که دارای ویژگی مسیر-مستقل است (بنابراین یک میدان برداری پایستار است.) نیز باید پیچشی باشد و بالعکس.

انتزاع [ ویرایش ]

به طور انتزاعی تر، در حضور یک یک ریمانی ، میدان های برداری با دیفرانسیل مطابقت دارند. $1$ -تشکیل می دهد . میدانهای بردار پایستار دقیقاً مطابقت دارند $1$ -شکل ها ، یعنی به صورت هایی که مشتق بیرونی هستند $dphi$ یک تابع (میدان اسکالر) $phi$ بر $U$ . میدانهای بردار پیچشی مربوط به بسته است $1$ -فرم ها ، یعنی به تشکیل می دهد $امگا$ به طوری که ${displaystyle domega =0}$ . مانند $d^2 = 0$ ، هر شکل دقیقی بسته است، بنابراین هر میدان برداری پایستار غیر پیچشی است. برعکس، همه بسته است $1$ -فرم ها دقیق هستند اگر $U$ به سادگی متصل است .

گرداب [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: گرداب

گرداب ${boldsymbol {omega }}$ یک میدان برداری را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

${displaystyle {boldsymbol {omega }}~{stackrel {text{def}}{=}}~nabla times mathbf {v}.}$

گردابی میدان بی پیچشی در همه جا صفر است. [6] قضیه گردش کلوین بیان می کند که سیالی که در یک جریان نامرغوب غیر پیچشی است ، غیر پیچشی باقی می ماند. این نتیجه را می توان از معادله انتقال گردابی که با گرفتن حلقه معادلات ناویر-استوکس به دست می آید، به دست آورد .

برای یک میدان دو بعدی، گردابه به عنوان معیاری از چرخش محلی عناصر سیال عمل می کند. توجه داشته باشید که گردابه چیزی در مورد رفتار جهانی یک سیال دلالت نمی کند. ممکن است سیالی که در یک خط مستقیم حرکت می کند گردابی داشته باشد و سیالی که در دایره حرکت می کند غیر پیچشی باشد.

نیروهای پایستار [ ویرایش ]

نمونه هایی از زمینه های بالقوه و گرادیان در فیزیک:

میدان های اسکالر، پتانسیل های اسکالر:
- V G ، پتانسیل گرانشی
- W ، انرژی پتانسیل (گرانشی یا الکترواستاتیکی).
- V C ، پتانسیل کولن
میدانهای برداری، میدانهای گرادیان:
- a G ، شتاب گرانشی
- F ، نیروی گرانشی یا الکترواستاتیکی
- E ، قدرت میدان الکتریکی

اگر میدان برداری مربوط به یک نیرو باشد $mathbf {F}$ پایستار است، پس گفته می شود نیرو یک نیروی پایستار است .

برجسته ترین نمونه های نیروهای پایستار نیروی گرانشی و نیروی الکتریکی مرتبط با میدان الکترواستاتیک است. طبق قانون گرانش نیوتن ، یک نیروی گرانشی ${displaystyle mathbf {F} _{G}}$ بر روی یک توده عمل می کند $متر$ به دلیل یک توده $م$ واقع در فاصله $r$ از جانب $متر$ ، از معادله تبعیت می کند

${displaystyle mathbf {F} _{G}=-{frac {GmM}{r^{2}}}{hat {mathbf {r} }}،}$

جایی که $جی$ ثابت گرانشی است و ${hat {mathbf {r} }}$ یک بردار واحد که از $م$ به سمت $متر$ است . نیروی گرانش پایستار است زیرا ${displaystyle mathbf {F} _{G}=-nabla Phi _{G}}$ ، جایی کهΦ

${displaystyle Phi _{G}~{stackrel {text{def}}{=}}-{frac {GmM}{r}}}$

انرژی پتانسیل گرانشی است . به عبارت دیگر میدان گرانش مرتبط با نیروی گرانش ${displaystyle mathbf {F} _{G}}$ گرادیان پتانسیل گرانشی استΦ ${displaystyle {frac {Phi _{G}}{m}}}$ مرتبط با انرژی پتانسیل گرانشی $Phi_{G}$ . می توان نشان داد که هر میدان برداری از فرم ${displaystyle mathbf {F} =F(r){hat {mathbf {r} }}}$ پایستار است، مشروط بر اینکه $F(r)$ انتگرال پذیر است.

برای نیروهای پایستار ، مستقل مسیر را می توان به این معنا تفسیر کرد که کار انجام شده در حرکت از یک نقطه انجام شده است $آ$ به یک نقطه $ب$ مستقل از مسیر متحرک انتخاب شده است (فقط به نقاط بستگی دارد $آ$ و $ب$ ) و این کار $دبلیو$ در اطراف یک حلقه بسته ساده انجام می شود $سی$ است0 ${displaystyle 0}$ :

${displaystyle W=oint _{C}mathbf {F} cdot d{mathbf {r} }=0.}$

انرژی کل ذره ای که تحت تأثیر نیروهای پایستار حرکت می کند، حفظ می شود، به این معنا که از دست دادن انرژی پتانسیل به مقدار برابر انرژی جنبشی تبدیل می شود یا برعکس.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

میدان برداری بلترامی
نیروی پایستار
سیستم پایستار
میدان برداری لایه ای پیچیده
تجزیه هلمهولتز
میدان برداری لاپلاسی
میدان های برداری طولی و عرضی
میدان برداری شیر برقی

منابع [ ویرایش ]

^ مارسدن، جرولد ؛ ترومبا، آنتونی (2003). حساب برداری (ویرایش پنجم). WHFreedman و شرکت. صص 550-561.
↑ جرج بی آرفکن و هانس جی وبر، روش‌های ریاضی برای فیزیکدانان ، ویرایش ششم، انتشارات آکادمیک الزویر (2005)
^پرش به بالا:a b برای ${displaystyle mathbf {v} =nabla varphi }$ مستقل بودن از مسیر ، $varphi$ لزوماً به طور پیوسته مشتق پذیر نیست، شرط متمایز بودن کافی است، زیرا قضیه گرادیان ، مستقل مسیر را ثابت می کند.∇ $nabla varphi$ ، الزامی نیست $varphi$ به طور مداوم مشتق پذیر باشد. باید دلیلی برای تعریف میدانهای برداری پایستار وجود داشته باشد $varphi$ پیوسته مشتق پذیر بودن .
^پرش به بالا:a ب ، جیمز (2015)"16.3 قضیه اساسی انتگرال های خط"". حساب دیفرانسیل و انتگرال (ویرایش هشتم). Cengage Learning. صفحات 1127–1134. ISBN 978-1-285-74062-1.
^ باید بررسی شود که آیا دیفرانسیل های دقیق برای سیستم های مختصات غیر متعامد نیز وجود دارد یا خیر.
^ لیپمن، HW ; روشکو، ا. (1993) [1957]، عناصر دینامیک گاز ، انتشارات پیک دوور، شابک 0-486-41963-0، صص 194-196.

ادامه مطلب [ ویرایش ]

آچسون، دی جی (1990). دینامیک سیالات ابتدایی . انتشارات دانشگاه آکسفورد. شابک 0198596790.

https://en.wikipedia.org/wiki/Conservative_vector_field

ریاضیات...

ما را در سایت ریاضیات دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : 9math1342d بازدید : 30 تاريخ : شنبه 9 دی 1402 ساعت: 23:26

میدان برداری پایستار

آخرین مطالب

امکانات وب

میدان برداری پایستار

بیان غیررسمی [ ویرایش ]

توضیح بصری [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

مستقل مسیر و میدان برداری پایستار [ ویرایش ]

مستقل مسیر [ ویرایش ]

میدان برداری پایستار [ ویرایش ]

میدانهای برداری غیر پیچشی [ ویرایش ]

انتزاع [ ویرایش ]

گرداب [ ویرایش ]

نیروهای پایستار [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

ادامه مطلب [ ویرایش ]

آرشیو مطالب

پيوندهای روزانه

لینک دوستان

خبرنامه